Question

已知定點A（0，2），B（0，-2），C（2，0），動點P滿足

AP

•

BP

=k

PC

2
（1）求動點P的軌跡方程，并說明方程表示的曲線
（2）當k=2時，求|

AP

+2

BP

+

CP

|的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）將向量用坐標進行表示，利用動點P滿足

AP

•

BP

=k

PC

2，可得動點P的軌跡方程，進而分類說明方程表示的曲線；
（2）當k=2時，軌跡為圓，進而可知|

AP

+2

BP

+

CP

|表示點（x，y）到點(

1

2

，-

1

2

)的距離，故可求．

解答：解：（1）設(shè)動點P的坐標為（x，y），

AP

=(x，y-2)，

BP

=(x，y+2)

PC

=(x-2，y)，
由已知x²+y²-4=k[（x-2）²+y²]
∴（k-1）x²+（k-1）y²-4kx+4（k+1）=0…（3）分
①∴當k=1時，x=2方程表示一條直線          …（4）分
②當k≠1時，x2+y2-

4kx

k-1

+

4(k+1)

k-1

=0
∴(x-

2k

k-1

)2+y2=

4k2

(k-1)

-

4(k+1)

k-1

=

4

(k-1)2

＞0
∴k≠1時，方程表示圓心為(

2k

k-1

，0)，r=

2

|k-1|

的圓      …（6）分
（2）k=2點p的方程為（x-4）²+y²=4

AP

+2

BP

+

CP

=(x，y-2)+(2x，2y+4)+(x-2，y)=(4x-2，4y+2)|

AP

+2

BP

+

CP

|=

(4x-2)2+(4y+2)2

=4

(x- 1 2 )2+(y+ 1 2 2)

…（8）分

(x- 1 2 )2+(y+ 1 2 2)

表示點（x，y）到點(

1

2

，-

1

2

)的距離     …（10）分
圓心（4，0）到(

1

2

，-

1

2

)的距離為d=

49 4 + 1 4

=

5 2

2

∴|

AP

+2

BP

+

CP

|的最小值為(

5 2

2

-2)×4=10

2

-8，
最大值為(

5 2

2

+2)×4=10

2

+8…（13）分

點評：本題以向量為載體，考查軌跡問題，關(guān)鍵是用坐標表示向量，正確理解代數(shù)式的幾何意義是解題的關(guān)鍵．