Question

已知函數(shù)f（x），當(dāng)x，y∈R時(shí)恒有f（x+y）=f（x）+f（y）
（1）求f（0），并判斷f（x）的奇偶性
（2）若當(dāng)x＞0時(shí)，有f（x）＜0，試判斷f（x）在R上的單調(diào)性，并給出證明．

Answer 1

考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）利用賦值法以及函數(shù)奇偶性的定義即可得到結(jié)論．
（2）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義及，進(jìn)行證明．

解答： 解：（1）令x=y=0得，則f（0）=0，
再令y=-x得f（-x）=-f（x），
所以f（x）為奇函數(shù)．
（2）任取x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，
則f（x₂）-f（x₁）=f（x₂）+f（-x₁）=f（x₂-x₁），
∵x₁＜x₂，
∴x₂-x₁＞0，
∴f（x₂-x₁）＜0，
則f（x₂）＜f（x₁），
則f（x）在R上是減函數(shù)．

點(diǎn)評：本題主要考查函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的判斷和證明，利用定義法是解決本題的關(guān)鍵．