Question

函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且對(duì)任意實(shí)數(shù)x，都有f（x+1）=f（x-1）成立，已知當(dāng)x∈[1，2]時(shí)，f（x）=log_ax．
（1）求x∈[-1，1]時(shí)，函數(shù)f（x）的表達(dá)式．
（2）求x∈[2k-1，2k+1]（k∈Z）時(shí)，函數(shù)f（x）的表達(dá)式．
（3）若函數(shù)f（x）的最大值為

1

2

，在區(qū)間[-1，3]上，解關(guān)于x的不等式f(x)＞

1

4

．

Answer 1

分析：（1）由已知中f（x+1）=f（x-1），故可能函數(shù)是以2為周期的周期函數(shù)，又由函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，結(jié)合當(dāng)x∈[1，2]時(shí)，f（x）=log_ax，我們易得，x∈[-1，1]時(shí)，函數(shù)f（x）的表達(dá)式；
（2）由函數(shù)的周期性，我們易得函數(shù)的解析式；
（3）由于f（x）=log_ax的底數(shù)不確定，故我們要對(duì)底數(shù)進(jìn)行分類討論，進(jìn)而求出滿足條件的a值，易將不等式轉(zhuǎn)化為一個(gè)對(duì)數(shù)不等式，根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，我們易求出滿足條件的不等式的解集．

解答：解：（1）∵f（x+1）=f（x-1），且f（x）是R上的偶函數(shù)
∴f（x+2）=f（x）
∴f（x）=

loga(2+x)，x∈[-1，0] loga(2-x)，x∈(0，1]

（2）當(dāng)x∈[2k-1，2k]時(shí)，f（x）=f（x-2k）=log_a（2+x-2k），
同理，當(dāng)x∈（2k，2k+1]時(shí)，f（x）=f（x-2k）=log_a（2-x+2k），
∴f（x）=

loga(2+x-2k)，x∈[2k-1，2k] loga(2-x+2k)，x∈(2k，2k+1]

（3）由于函數(shù)是以2為周期的周期函數(shù)，故只需要考查區(qū)間[-1，1]
當(dāng)a＞1時(shí)，由函數(shù)f（x）的最大值為

1

2

，知f（0）=f（x）_max=log_a2=

1

2

，即a=4
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，則當(dāng)x=±1時(shí)，函數(shù)f（x）取最大值為

1

2

即log_a（2-1）=

1

2

，舍去
綜上所述a=4
當(dāng)x∈[-1，1]時(shí)，若x∈[-1，0]，則log₄（2+x）＞

1

4

∴

2

-2＜x≤0
若x∈（0，1]，則log₄（2-x）＞

1

4

∴0＜x＜2-

2

∴此時(shí)滿足不等式的解集為（

2

-2，2-

2

）
∵函數(shù)是以2為周期的周期函數(shù)，
∴在區(qū)間[-1，3]上，f(x)＞

1

4

的解集為（

2

，4-

2

）
綜上所得不等式的解集為（

2

-2，2-

2

）∪（

2

，4-

2

）

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)奇偶性與單調(diào)性的綜合應(yīng)用，函數(shù)的周期性，其中當(dāng)對(duì)數(shù)函數(shù)的底數(shù)不確定時(shí)，對(duì)a進(jìn)行分類討論是對(duì)數(shù)函數(shù)常用的處理的方法．