Question

已知函數(shù)f（x）=

2x-1

2x+1

|．則下列結(jié)論正確的有

 

（寫出所有正確的序號）
（1）函數(shù)f（x）的定義域為R；
（2）f（x）的圖象關(guān)于原點對稱；
（3）f（x）的值域是[0，1）；
（4）f（x）在其定義域區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)．

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)分別進行判斷即可得到結(jié)論．

解答： 解：（1）∵2^x+1＞0，∴分母恒有意義，
則函數(shù)f（x）的定義域為R；故（1）正確．
（2）∵

2-x-1

2-x+1

=

1-2x

1+2x

=-

2x-1

2x+1

=-f（x）．
∴f（x）是奇函數(shù)，
則f（x）的圖象關(guān)于原點對稱；故（2）正確．
（3）由y=

2x-1

2x+1

得y（2^x+1）=2^x-1，
即（1-y）2^x=y+1，
當(dāng)y=1時，方程等價為0=1不成立，
當(dāng)y≠1時，方程等價為2^x=

y+1

1-y

，
由2^x=

y+1

1-y

＞0得（y+1）（1-y）＞0，
即-1＜y＜1，
即f（x）的值域是（0，1）；故（3）錯誤．
（4）f（x）=

2x-1

2x+1

=

2x+1-2

2x+1

=1-

2

2x+1

，
∵y=2^x+1是增函數(shù)，
∴y=

2

2x+1

為減函數(shù)，y=-

2

2x+1

為增函數(shù)，
y=1-

2

2x+1

為增函數(shù)，
即f（x）在其定義域區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)．故（4）正確．
故答案為：（1）（2）（4）

點評：本題主要考查函數(shù)性質(zhì)的判斷，根據(jù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．