Question

【題目】(2015·江蘇） 已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+b(a,bR).
（1）試討論f(x)的單調(diào)性；
（2）若b=c-a（實數(shù)c是a與無關(guān)的常數(shù)），當(dāng)函數(shù)f(x)有三個不同的零點時，a的取值范圍恰好是(-,-3)(1,)(,+)，求c的值.

Answer 1

【答案】
（1）

當(dāng)a=0時，f(x)在（-， +）上單調(diào)遞增， 當(dāng)a>0時，f(x)在（-， -), (0,+)上單調(diào)遞增， 在（-,0)上單調(diào)遞減，

當(dāng)a<0時，f(x)在（-， 0), (-,+)上單調(diào)遞增， 在（0, -)上單調(diào)遞減。

（2）

c=1.

【解析】(1) f'(x)=3x2+2ax, 令 f'(x)=0， 解得x1=0, x2=-.
當(dāng)a=0時，因為f'(x)=3x2>0,(x≠0)， 所以 函數(shù)f(x)（-， +）上單調(diào)遞增，當(dāng)a>0時，x(-,-)(0,+)時， f'(x)>0 , x(-,0), f'(x)<0 , 所以函數(shù)f(x)在（-， -), (0,+)上單調(diào)遞增， 在（-,0)上單調(diào)遞減。 當(dāng)a<0時，x(-，0)(-, +)時，f'(x)>0, x(0, -)時，f'(x)<0， 所以 f(x)在（-， 0), (-,+)上單調(diào)遞增， 在（0, -)上單調(diào)遞減。
（2）由（１）知，　函數(shù)ｆ（ｘ）的兩個極值為ｆ（０）＝ｂ，　ｆ（－）＝a3＋ｂ，則函數(shù)f(x)有三個零點等價于f(０)·f(－)＝ｂ（a3＋ｂ）＜０，　從而或, 又b=c-a,所以當(dāng)a>0時，a3-a+c>0或當(dāng)a<0時， a3-a+c<0.
設(shè)g(a)=a3-a+c,因為函數(shù)f(x)有三個零點時， a的取值范圍恰好是(-,-3)(1,)(,+)， 則(-,-3)上g(a)<0，且在(1,）(,+)上g(a)>0均恒成立， 從而g(-3)=c-1≤0，且g()=c-1≥0， 因此c=1.
此時， f(x)=x3+ax2+1-a=（x+1)[x2+(a-1)x+1-a], 因函數(shù)有三個零點， 則x2+(a-1)x+1-a有兩個異于-1的不等實根， 所以△=（a-1)2-4(1-a)=a2+2a-3>0, 且（-1）2-（a-1)+1-1≠0，解得a(-,-3)(1,)(,+). 綜上c=1.
【考點精析】利用函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的零點對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知注意：函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的局部性質(zhì)；函數(shù)的單調(diào)性還有單調(diào)不增，和單調(diào)不減兩種；函數(shù)的零點就是方程的實數(shù)根，亦即函數(shù)的圖象與軸交點的橫坐標．即：方程有實數(shù)根，函數(shù)的圖象與坐標軸有交點，函數(shù)有零點．