Question

數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a₂=2．?dāng)?shù)列{b_n}滿足，n∈N₊．
（1）若數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，求數(shù)列{b_n}的前6項和S₆；
（2）若數(shù)列{b_n}是公差為2的等差數(shù)列，求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（3）若b_2n-b_2n-1=0，，n∈N₊，求數(shù)列{a_n}的前2n項的和T_2n．

Answer 1

【答案】分析：（1）由數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，a₁=1，a₂=2，可得a_n=n，由此求得數(shù)列{b_n}的前6項，即可得到數(shù)列{b_n}的前6項和S₆ 的值．
（2）數(shù)列{b_n}是公差為2的等差數(shù)列，b₁=a₂-a₁=1，故b_n=2n-1．由b_n=a_n+1+（-1）ⁿa_n，知b_2n-1=a_2n-a_2n-1=4n-3，b_2n=a_2n+1+a_2n=4n-1．相減可得 a_2n+1+a_2n-1=2，a_2n+3+a_2n+1=2，求得a_4n-3=a₁=1，a_4n-1=a₃=1．由此能求出a_n．
（3）由，n∈N₊．知b_2n=a_2n+1+a_2n，b_2n-1=a_2n-a_2n-1，b_2n+1=a_2n+2-a_2n+1，由b_2n-b_2n-1=0，，n∈N₊，，由此能求出數(shù)列{a_n}的前2n項的和T_2n．
解答：解：（1）∵數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，a₁=1，a₂=2，∴a_n=n，
∴
=（n+1）+（-1）ⁿn，
∴數(shù)列{b_n}的前6項和S₆=（2-1）+（3+2）+（4-3）+（5+4）+（6-5）+（7+6）=30．
（2）∵數(shù)列{b_n}是公差為2的等差數(shù)列，b₁=a₂-a₁=1，
∴b_n=2n-1．
∵b_n=a_n+1+（-1）ⁿa_n，
∴b_2n-1=a_2n-a_2n-1=4n-3，b_2n=a_2n+1+a_2n=4n-1．
相減可得 a_2n+1+a_2n-1=2，a_2n+3+a_2n+1=2，∴a_2n+3=a_2n-1．
∵a₁=1，a₃=1，∴a_4n-3=a₁=1，a_4n-1=a₃=1．
∴a_n=．
（3）∵，n∈N₊．
∴b_2n=a_2n+1+a_2n，
b_2n-1=a_2n-a_2n-1，
b_2n+1=a_2n+2-a_2n+1，
∵b_2n-b_2n-1=0，，n∈N₊，
∴a_2n+1=a_2n-1，，
∴，
又數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a₂=2．
所以數(shù)列{a_n}的前2n項中，所有的奇數(shù)項都是1，所有的偶函數(shù)項從第二項開始兩個分為一組，求和，可得
∴數(shù)列{a_n}的前2n項的和T_2n=n+6（）=n+=n+6-．
點評：本題主要考查等差數(shù)列的定義和性質(zhì)，等差數(shù)列的通項公式，根據(jù)遞推關(guān)系求通項，屬于難題．