已知兩定點(diǎn)F1-
2
,0
),F(xiàn)2
2
,0
),滿(mǎn)足條件|
PF2
|-|
PF1
|=2的點(diǎn)P的軌跡是曲線(xiàn)E,直線(xiàn)y=kx-1與曲線(xiàn)E交于A,B兩點(diǎn).如果|AB|=6
3
,求直線(xiàn)AB的方程.
分析:由雙曲線(xiàn)的定義易判斷點(diǎn)P軌跡E是以F1(-
2
,0),F(xiàn)2
2
,0)為焦點(diǎn)的雙曲線(xiàn)的左支,從而可求得E的方程,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),聯(lián)立直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)方程得方程組,消y得(1-k2)x2+2kx-2=0.由直線(xiàn)交雙曲線(xiàn)左支于兩點(diǎn)得關(guān)于k的限制條件,再由弦長(zhǎng)公式可得關(guān)于k的方程,解出k,注意檢驗(yàn)是否滿(mǎn)足以上條件.
解答:解:由雙曲線(xiàn)的定義可知,曲線(xiàn)E是以F1(-
2
,0),F(xiàn)2
2
,0)為焦點(diǎn)的雙曲線(xiàn)的左支,
c=
2
,a=1,∴b=1,
故曲線(xiàn)E的方程為x2-y2=1(x<0).
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),
由題意建立方程組
y=kx-1
x2-y2=1
,消去y,得(1-k2)x2+2kx-2=0.
∵已知直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)左支交于兩點(diǎn)A、B,∴
1-k2≠0
△=(2k)2+8(1-k2)>0
x1+x2=
-2k
1-k2
<0
x1x2=
-2
1-k2
>0
,解得-
2
<k<-1.
又∵|AB|=
1+k2
•|x1-x2|
=
1+k2
(x1+x2)2-4x1x2


=
1+k2
(
-2k
1-k2
)2-4×
-2
1-k2
=2
(1+k2)(2-k2)
(1-k2)2
,
依題意得2
(1+k2)(2-k2)
(1-k2)2
=6
3
,整理后得28k4-55k2+25=0,
解得k2=
5
7
k2=
5
4
,但-
2
<k<-1,∴k=-
5
2
,
故直線(xiàn)AB的方程為
5
2
x+y+1=0
點(diǎn)評(píng):本題考查直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系及直線(xiàn)方程,考查二次方程根的分布問(wèn)題,弦長(zhǎng)公式、韋達(dá)定理是解決該類(lèi)問(wèn)題的基礎(chǔ)知識(shí),要熟練掌握.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知兩定點(diǎn)F1(-
2
,0),F(xiàn)2
2
,0)滿(mǎn)足條件|PF2|-|PF1|=2的點(diǎn)P的軌跡是曲線(xiàn)E,直線(xiàn)y=kx-1與曲線(xiàn)E交于A、B兩點(diǎn).
(1)求k的取值范圍;
(2)當(dāng)|AB|=6
3
時(shí),求△AOB的面積.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知兩定點(diǎn)F1-
2
,0),F(xiàn)2
2
,0)滿(mǎn)足條件|
PF2
| -|
PF1
| =2
的點(diǎn)P的軌跡方程是曲線(xiàn)C,直線(xiàn)y=kx-2與曲線(xiàn)C交于A、B兩點(diǎn),且|
AB
| =
2
5
3

(1)求曲線(xiàn)C的方程;
(2)若曲線(xiàn)C上存在一點(diǎn)D,使
OA
+
OB
=m
OD
,求m的值及點(diǎn)D到直線(xiàn)AB的距離.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知兩定點(diǎn)F1(-
2
,0),F(xiàn)2
2
,0),滿(mǎn)足條件|PF2|-|PF1|=2的點(diǎn)P的軌跡是曲線(xiàn)E.
(1)求曲線(xiàn)E的方程;
(2)設(shè)過(guò)點(diǎn)(0,-1)的直線(xiàn)與曲線(xiàn)E交于A,B兩點(diǎn).如果|AB|=6
3
,求直線(xiàn)AB的方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

已知兩定點(diǎn)F1-
2
,0
),F(xiàn)2
2
,0
),滿(mǎn)足條件|
PF2
|-|
PF1
|=2的點(diǎn)P的軌跡是曲線(xiàn)E,直線(xiàn)y=kx-1與曲線(xiàn)E交于A,B兩點(diǎn).如果|AB|=6
3
,求直線(xiàn)AB的方程.

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