【題目】已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=an+n2﹣1，數(shù)列{bn}滿足3nbn+1=（n+1）an+1﹣nan ， 且b1=3，a1=3．
（1）求數(shù)列{ an}和{bn}的通項(xiàng)an ， bn；
（2）設(shè)Tn為數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和，求Tn ， 并求滿足Tn＜7時(shí)n的最大值．

【答案】
（1）解：∵Sn=an+n2﹣1，

∴當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn﹣Sn﹣1=（an+n2﹣1）﹣[an﹣1+（n﹣1）2﹣1]，化為：an﹣1=2n﹣1，

又∵a1=1+2=3滿足上式，

∴an=2n+1，

∵3nbn+1=（n+1）an+1﹣nan，

∴bn+1= [（n+1）an+1﹣nan]= [（n+1）（2n+3）﹣n（2n+1）]=（4n+3） ，

又∵b1=3滿足上式，

∴bn=（4n﹣1） ．


（2）解：由（1）可知，Tn=31+7 +11 +…+（4n﹣1） ，

Tn=3 +7 +…+（4n﹣5） +（4n﹣1） ，

錯(cuò)位相減得： Tn=3+4（ + +…+ ）﹣（4n﹣1） ，

∴Tn= [3+4× ﹣（4n﹣1） ]

= ﹣ ，

Tn﹣Tn+1= ﹣ ﹣ = ＜0．

∴Tn＜Tn+1，即{Tn}為遞增數(shù)列．

又T3= ＜7，T4= ＞7，

∴Tn＜7時(shí)，n的最大值為3．


【解析】（1）Sn=an+n2﹣1，當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn﹣Sn﹣1，n=1時(shí)滿足上式，可得an=2n+1.3nbn+1=（n+1）an+1﹣nan，可得bn+1= [（n+1）an+1﹣nan]=（4n+3） ，又b1=3滿足上式，可得bn=（4n﹣1） ．（2）利用錯(cuò)位相減法與等比數(shù)列的求和公式可得Tn．可得Tn﹣Tn+1＜0．即可得出．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了數(shù)列的前n項(xiàng)和和數(shù)列的通項(xiàng)公式的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和sn與通項(xiàng)an的關(guān)系；如果數(shù)列an的第n項(xiàng)與n之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式表示，那么這個(gè)公式就叫這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式才能正確解答此題．

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f（x）=ex（其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），g（x）= x+m（m，n∈R）．
（1）若T（x）=f（x）g（x），m=1﹣ ，求T（x）在[0，1]上的最大值；
（2）若m=﹣ ，n∈N* ， 求使f（x）的圖象恒在g（x）圖象上方的最大正整數(shù)n．[注意：7＜e2＜ ]．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】若函數(shù) 在區(qū)間[﹣k，k]（k＞0）上的值域?yàn)閇m，n]，則m+n等于（ ）
A.0
B.2
C.4
D.6

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【題目】高三第一學(xué)期期末四校聯(lián)考數(shù)學(xué)第I卷中共有8道選擇題，每道選擇題有4個(gè)選項(xiàng)，其中只有一個(gè)是正確的；評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定：“每題只選一項(xiàng)，答對(duì)得5分，不答或答錯(cuò)得0分．”某考生每道題都給出一個(gè)答案，已確定有5道題的答案是正確的，而其余選擇題中，有1道題可判斷出兩個(gè)選項(xiàng)是錯(cuò)誤的，有一道可以判斷出一個(gè)選項(xiàng)是錯(cuò)誤的，還有一道因不了解題意只能亂猜，試求出該考生：
（1）得40分的概率；
（2）得多少分的可能性最大？
（3）所得分?jǐn)?shù)ξ的數(shù)學(xué)期望．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知{an}是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列（公比q＞1），bn=log2an ， b1+b2+b3=3，b1b2b3=﹣3，則an=（ ）
A.
B.
C.
D. 或

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f（x）=kex﹣x2（其中k∈R，e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．
（Ⅰ）若k＜0，試判斷函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）上的單調(diào)性；
（Ⅱ）若k=2，當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，試比較f（x）與2的大��；
（Ⅲ）若函數(shù)f（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)x1 ， x2（x1＜x2），求k的取值范圍，并證明0＜f（x1）＜1．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知min{{a，b}= f（x）=min{|x|，|x+t|}，函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=﹣ 對(duì)稱；若“x∈[1，+∞），ex＞2mex”是真命題（這里e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），則當(dāng)實(shí)數(shù)m＞0時(shí)，函數(shù)g（x）=f（x）﹣m零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為 ．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】函數(shù)f（x）=sin（2x+φ）（|φ＜ |）的圖象向左平移 個(gè)單位后關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，求函數(shù)f（x）在[0， ]上的最小值為（ ）
A.﹣
B.﹣
C.
D.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標(biāo)系 中，已知曲線 ： （ 為參數(shù)），以平面直角坐標(biāo)系 的原點(diǎn) 為極點(diǎn)， 軸的正半軸為極軸，取相同的單位長(zhǎng)度建立極坐標(biāo)系，已知直線 ： .
（1）將曲線 上的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)分別伸長(zhǎng)為原來的 、2倍后得到曲線 ，試寫出直線 的直角坐標(biāo)方程和曲線 的參數(shù)方程；
（2）在曲線 上求一點(diǎn) ，使點(diǎn) 到直線 的距離最大，并求出此最大值.

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