Question

18．在平面直角坐標系xoy中，已知圓心在第二象限，半徑為2$\sqrt{2}$的圓C與直線y=x相切于坐標原點O，橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1（a＞0）與圓C的一個交點到橢圓的兩焦點的距離之和為10．
（1）求圓C的方程；
（2）若圓C上存在一點Q（異于坐標原點），滿足點Q到橢圓右焦點F的距離等于OF的長，試求出點Q的坐標．

Answer 1

分析 （1）設圓C的圓心為A（p，q），則圓C的方程（x-p）²+（y-p）²=8，由題意可知：O在圓C上，且OA垂直于直線y=x，$\left\{\begin{array}{l}{{p}^{2}+{q}^{2}=8}\\{\frac{q}{p}=-1}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{p=2}\\{q=-2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{p=-2}\\{q=2}\end{array}\right.$，圓心在第二象限，即可求得圓的方程；
（2）由橢圓的定義可知：2a=10，a=5，橢圓的右焦點F坐標（4，0），由題意可知：丨QF丨=丨OF丨，則（x₀-4）+y₂²=16，且x₂²+y₂²≠0，①，（x₀+2）²+（y₀-2）²=8，②聯(lián)立即可求得點Q的坐標．

解答 解：（1）由題意可知：由圓C的圓心為A（p，q），則圓C的方程（x-p）²+（y-p）²=8，
由直線y=x在與圓C相切于坐標原點O，
∴O在圓C上，且OA垂直于直線y=x，
則$\left\{\begin{array}{l}{{p}^{2}+{q}^{2}=8}\\{\frac{q}{p}=-1}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{p=2}\\{q=-2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{p=-2}\\{q=2}\end{array}\right.$，
由圓心在第二象限，即$\left\{\begin{array}{l}{p＜0}\\{q＞0}\end{array}\right.$，
∴圓心為A（-2，2），
圓的方程為：（x+2）²+（y-2）²=8，
（2）由橢圓方程：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1（a＞0）與圓C的一個交點到橢圓的兩焦點的距離之和為10，
可知橢圓的焦點在x軸上，
∴2a=10，a=5，b=3，c=4，
則橢圓的右焦點F坐標（4，0），
設Q（x₀，y₀）為圓上一點，由題意可知：丨QF丨=丨OF丨，
即（x₀-4）+y₂²=16，且x₂²+y₂²≠0，①
由Q在圓上，則（x₀+2）²+（y₀-2）²=8，②
解得：$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{0}=\frac{4}{5}}\\{{y}_{0}=\frac{12}{5}}\end{array}\right.$，
∴Q點坐標為：（$\frac{4}{5}$，$\frac{12}{5}$）．

點評 本題考查圓的標準方程，橢圓的定義，考查直線與圓錐曲線的交點坐標的求法，考查計算能力，屬于中檔題．