Question

已知數(shù)列{a_n}中，a₁=

2

，[a_n]表示a_n的整數(shù)部分，（a_n）表示a_n的小數(shù)部分，a_n+1=[a_n]+

1

(an)

（n∈N^*），則a_n=

 

；數(shù)列{b_n}中，b₁=3，b₂=2，

b

2 n+1

=bn•bn+2（n∈N^*），則

n

i=1

aibi=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：進(jìn)行簡(jiǎn)單的合情推理

專(zhuān)題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：根據(jù)新定義，結(jié)合合情推理，可求數(shù)列{a_n}、數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)，利用錯(cuò)位相減法，可求和．

解答： 解：∵a₁=

2

，[a_n]表示a_n的整數(shù)部分，（a_n）表示a_n的小數(shù)部分，a_n+1=[a_n]+

1

(an)

，
∴a₂=1+

1

2 -1

=2+

2

，a₃=3+

1

2 -1

=4+

2

，
∴a_n=2(n-1)+

2

，
∵數(shù)列{b_n}中，b₁=3，b₂=2，

b

2 n+1

=bn•bn+2，
∴b₃=

4

3

，b₄=

8

9

，b₅=

16

27

，
∴b_n=

2n-1

3n-2

（n≥2），
∴

n

i=1

aibi=

2

+（2+

2

）•2+…+[2(n-1)+

2

]•

2n-1

3n-2

，
令S=（2+

2

）•2+…+[2(n-1)+

2

]•

2n-1

3n-2

，則

2

3

S=（2+

2

）•

4

3

+…+[2（n-2）+

2

]•

2n-1

3n-2

+2(n-1)+

2

]•

2n

3n-1

，
兩式相減，化簡(jiǎn)可得S=（n-2）•2ⁿ⁺¹+

2

•2n+4-2

2

∴

n

i=1

aibi=(n-2)•2n+1+

2

•2n+4-

2

．
故答案為：2(n-1)+

2

，(n-2)•2n+1+

2

•2n+4-

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查新定義，考查合情推理，考查錯(cuò)位相減法，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．