Question

如圖，平地上有一條水溝，溝沿AB為2 m，與溝沿垂直的平面與溝的交線是一段拋物線，拋物線的頂點(diǎn)為O，對(duì)稱軸與地面垂直，溝深1.5 m，溝中水深1 m．

(1)求水面寬；

(2)現(xiàn)在要把這條水溝改挖成截面為等腰梯形的溝，溝的底面與地面平行，兩腰分別與拋物線相切，如圖，改挖后的溝底寬為多少米時(shí)，所挖的土最少？

Answer 1

答案：
解析：

解析：(1)如圖建立直角坐標(biāo)系．設(shè)拋物線方程為y＝ax2，則由拋物線過(guò)點(diǎn)(1，)，可得a＝，于是拋物線方程為y＝x2． 　　當(dāng)y＝1時(shí)x＝±，由此，水面寬為m． 　　(2)設(shè)切點(diǎn)P(t，t2)(0＜t≤1)是拋物線弧OB上一點(diǎn)，過(guò)P作拋物線的切線，得如上圖所示的直角梯形OCBE． 　　由于y＝x2，|x＝t＝·2x|x＝t＝3t， 　　故切線CD的方程為y＝3t(x－t)＋t2， 　　即y＝3txt2． 　　于是C(t，0)，D((t＋)，)． 　　設(shè)梯形OCBE的面積為S1，則 　　S1＝[t＋]t＋)]·＝(t＋)． 　　令＝0，得()＝0．解得t＝±． 　　∵0＜t≤1，故t＝． 　　∵t＝時(shí)，S1取最值； 　　而t＝時(shí)，C點(diǎn)的坐標(biāo)為(，0)． 　　因此要使所挖掉的土最少，改挖后的溝底的寬必須為m．