Question

某地今年年初有居民住房面積為am²，其中需要拆除的舊房面積占了一半．當(dāng)?shù)赜嘘P(guān)部門決定每年以當(dāng)年年初住房面積的10%的住房增長率建設(shè)新住房，同時每年拆除xm²的舊住房，又知該地區(qū)人口年增長率為4.9‰．
（1）如果10年后該地的人均住房面積正好比目前翻一番，那么每年應(yīng)拆除的舊住房面積x是多少？
（2）依照（1）拆房速度，再過多少年能拆除所有需要拆除的舊住房？
下列數(shù)據(jù)供學(xué)生計算時參考：

1.19=2.38	1.00499=1.04
1.110=2.6	1.004910=1.05
1.111=2.85	1.004911=1.06

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意，可得過10年住房總面積為1.1¹⁰a-1.1⁹x-1.1⁸x-…-1.1x-x=1.1¹⁰a-

1.110-1

1.1-1

x=2.6a-16x
設(shè)今年人口數(shù)為m，根據(jù)該地區(qū)人口年增長率為4.9‰，求出10年后人口數(shù)為m（1+4.9‰）¹⁰=1.05m，利用10年后該地的人均住房面積正好比目前翻一番，建立方程，即可得到結(jié)論；
（2）根據(jù)居民住房面積為am²，其中需要拆除的舊房面積占了一半，每年應(yīng)拆除的舊住房面積

1

32

am²，可得拆除所有需要拆除的舊住房所需要時間．

解答：解：（1）過1年住房總面積為1.1a-x（m²）
過2年住房總面積為1.1（1.1a-x）-x=1.1²a-1.1x-x（m²）
過3年住房總面積為1.1（1.1²a-1.1x-x）-x=1.1³a-1.1²x-1.1x-x（m²）
…
過10年住房總面積為1.1¹⁰a-1.1⁹x-1.1⁸x-…-1.1x-x=1.1¹⁰a-

1.110-1

1.1-1

x=2.6a-16x
設(shè)今年人口數(shù)為m，∵該地區(qū)人口年增長率為4.9‰，
∴10年后人口數(shù)為m（1+4.9‰）¹⁰=1.05m
由題意，10年后該地的人均住房面積正好比目前翻一番
∴

2.6a-16x

1.05

=2a 
解得x=

1

32

a（m²）
（2）∵居民住房面積為am²，其中需要拆除的舊房面積占了一半，每年應(yīng)拆除的舊住房面積

1

32

am²，
∴拆除所有需要拆除的舊住房所需要時間為

1

2

a÷

1

32

a=16年

點評：本題考查等比數(shù)列模型的構(gòu)建，考查數(shù)列的求和，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．