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【題目】已知函數.

（1）當時，恒成立，求實數的取值范圍；

（2）證明：當時，函數有最小值，設最小值為，求函數的值域.

【答案】(1)；(2)答案見解析.

【解析】分析：分析題意，該題可借助于利用導數求函數的單調性和最值的方法進行解答，對于

（1），首先將式子進行轉化，構造新函數，借助于導數來完成即可；對于（2）利用導數求函數的最值，不難得到函數的最小值為，則，再利用導數求出其值域即可.

詳解：（1）因為對恒成立，

等價于對恒成立，

設

得，

故在上單調遞增，

當時，由上知，

所以，

即.

所以實數的取值范圍為；

（2）對求導得

記

由（1）知在區(qū)間內單調遞增，

又，

所以存在唯一正實數，

使得，

∴當時，，函數在區(qū)間單調遞減；

時，，函數在區(qū)間單調遞增；

所以在內有最小值，

有題設即，

又因為，

所以

根據（1）知，在內單調遞增，，

所以，

令，

則，

函數在區(qū)間內單調遞增，

所以，

即函數的值域為.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知定義在R上的偶函數f(x)和奇函數g(x)滿足.

(1)求函數f(x)和g(x)的表達式；

(2)當時，不等式恒成立，求實數a的取值范圍；

(3)若方程在上恰有一個實根，求實數m的取值范圍.

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【題目】以下給出了4個命題：

（1）兩個長度相等的向量一定相等；

（2）相等的向量起點必相同；

（3）若，且，則；

（4）若向量的模小于的模，則．

其中正確命題的個數共有（ ）

A.3 個B.2 個C.1 個D.0個

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【題目】在直角坐標系中，已知一動圓經過點且在軸上截得的弦長為4，設動圓圓心的軌跡為曲線．

（1）求曲線的方程；

（2）過點作互相垂直的兩條直線，，與曲線交于，兩點與曲線交于，兩點，線段，的中點分別為，，求證：直線過定點，并求出定點的坐標．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知函數，.

（1）若函數的圖像與軸無交點，求的取值范圍；

（2）若方程在區(qū)間上存在實根，求的取值范圍；

（3）設函數，，當時若對任意的，總存在，使得，求的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】若函數在處有極大值，則常數為（ ）

A. 2或6 B. 2 C. 6 D. 或

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】設拋物線的焦點為F，過點F作垂直于x軸的直線與拋物線交于A，B兩點，且以線段AB為直徑的圓過點.

（1）求拋物線C的方程；

（2）設過點的直線分別與拋物線C交于點D，E和點G，H，且，求四邊形面積的最小值.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知.

（1）當時，求證：；

（2）若有三個零點時，求的范圍.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】在同一直角坐標系中，經過伸縮變換后，曲線C的方程變?yōu)?/span>.以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，直線/的極坐標方程為.

（1）求曲線C和直線l的直角坐標方程；

（2）過點作l的垂線l0交C于A，B兩點，點A在x軸上方，求的值.

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