已知函數(shù)f(x)=ax3-4x+4(a∈R)在x=2取得極值.
(Ⅰ)確定a的值并求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)若關于x的方程f(x)=b至多有兩個零點,求實數(shù)b的取值范圍.
解:(Ⅰ)因為f(x)=ax
3-4x+4(a∈R),所以f′(x)=3ax
2-4
因為函數(shù)f(x)在x=2時有極值,所以f′(2)=0,即3×4a-4=0
得
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,經(jīng)檢驗符合題意,所以
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所以f′(x)=x
2-4=(x+2)(x-2)
令,f′(x)=0得,x=2,或x=-2,當x變化時f′(x),f(x)變化如下表:
x | (-∞,-2) | -2 | (-2,2) | 2 | (2,+∞) |
f′(x) | + | 0 | - | 0 | + |
f(x) | 單調(diào)遞增↗ | 極大值 | 單調(diào)遞減↘ | 極小值 | 單調(diào)遞增↗ |
所以f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(-∞,-2),(2,+∞);f(x)的單調(diào)減區(qū)間為(-2,2).
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,當x=-2時,f(x)有極大值,并且極大值為
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;
當x=2時,f(x)有極小值,并且極小值為
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;
要使關于x的方程f(x)=b至多有兩個零點,則b的取值范圍為
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分析:(Ⅰ)先求導函數(shù),根據(jù)函數(shù)f(x)在x=2時有極值,可得f′(2)=0,從而可求出a的值,由導數(shù)的正負可確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,極大值為
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,極小值為
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,要使關于x的方程f(x)=b至多有兩個零點,則b在兩極值之外即可.
點評:本題以函數(shù)的極值為載體,考查函數(shù)解析式的求解,考查利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,考查函數(shù)的極值的求解,綜合性強.