Question

設(shè)函數(shù)f（x）=x²+x-l，g（x）=e^bx，其中P為自然對(duì)數(shù)的底．
（1）當(dāng)b=-1時(shí)，求函數(shù)F（x）=f（x）•g（x）的極大、極小值；
（2）當(dāng)b=-1時(shí)，求證：函數(shù)G（x）=f（x）+g（x）有且只有一個(gè)零點(diǎn)；
（3）若不等式g（x）≥ex對(duì)?x＞0恒成立，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)b=-1時(shí)，•F（x）=（x²+x-1）e^-x，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，畫(huà)出表格，判斷函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的極值
（2）當(dāng)b=-1時(shí)，G（x）=x2+x-l+e-x，當(dāng)b=-1時(shí)，G（x）=x2+x-l+e-x，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，判斷函數(shù)的零點(diǎn)
（3）g（x）=e^bx≥ex，等價(jià)于bx≥ln（ex）=1+lnx對(duì)?x＞0恒成立，即b≥

1+lnx

x

對(duì)?x＞0恒成立，利用恒成立問(wèn)題，求b的取值范圍

解答：（1）解：當(dāng)b=-1時(shí)，•F（x）=（x²+x-1）e^-x，
則F'（x）=（2x+1）e^-x+（x²+x-1）•（-e^-x）=-（x²-x-2）e^-x=-（x+1）（x-2）e^-x（2分）
令F'（x）=O，得x₁=-1，x₂=2．
當(dāng)x變化時(shí)，F(xiàn)'（0）、F（x）的變化情況如下表：
（4分）
∴當(dāng)x=-1時(shí)，F(xiàn)（x）_極小值=-e：當(dāng)x=2時(shí)，F(xiàn)（x）_極大值=5e^-2（6分）
（2）證：當(dāng)b=-1時(shí)，G（x）=x2+x-l+e-x，顯然G（O）=O，當(dāng)b=-1時(shí)，G（x）=x2+x-l+e-x．（7分）
∵G’（x）=2x+l-e^-x，則G”（x）=2+e^-x＞O，（8分）
∴G’（x）在R上是增函數(shù)，
∴當(dāng)x＜0時(shí)，G'（x）＜G'（O）=O，G（x）單調(diào)遞減，G（x）＞G（0）=0；
當(dāng)x＞0時(shí)，G'（x）＞G'（0）=O，G（x）單調(diào)遞增，G（x）＞G（0）=0．
故函數(shù)G（x）有且只有一個(gè)零點(diǎn)x=0．（注：或說(shuō)明G（x）_min=G（0）=O）（l0分）
（3）解：g（x）=e^bx≥ex，等價(jià)于bx≥ln（ex）=1+lnx對(duì)?x＞0恒成立，即b≥

1+lnx

x

對(duì)?x＞0恒成立，
設(shè)h(x)=

1+lnx

x

(x＞0)，則b≥h（x）_max（l2分）
而h′(x)=

-1nx

x2

，令h'（x）=O，得x=1．
∵x∈（O，1）時(shí)，h'（x）＞0：當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，h'（x）＜O，
∴h（x）_max=h（1）=l，
∴b≥l為所求．（14分）

點(diǎn)評(píng)：該題考查函數(shù)導(dǎo)數(shù)的求法，以及利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，切記要畫(huà)圖表，要會(huì)用最值求未知量的取值范圍