已知數(shù)列{an}滿足a1=1,an+1=
an2an+1

(1)計算a2,a3,a4的值;
(2)猜想an的表達(dá)式,并用數(shù)學(xué)歸納法證明.
分析:(1)利用數(shù)列遞推式,代入計算可得結(jié)論;
(2)利用(1)的結(jié)論,猜想an的表達(dá)式,再用數(shù)學(xué)歸納法證明.
解答:解:(1)∵a1=1,an+1=
an
2an+1

a2=
a1
2a1+1
=
1
3
,a3=
a2
2a2+1
=
1
5
,a4=
a3
2a3+1
=
1
7
.             …3分
(2)由(1)可以猜想an=
1
2n-1
.                                    …4分
用數(shù)學(xué)歸納法證明:
ⅰ)當(dāng)n=1時,a1=
1
2×1-1
=1
,所以當(dāng)n=1時猜想成立.             …5分
ⅱ)假設(shè)當(dāng)n=k(k∈N*)時猜想成立,即ak=
1
2k-1

當(dāng)n=k+1時,ak+1=
ak
2ak+1
=
1
2k-1
2•
1
2k-1
+1
=
1
2k-1
2+2k-1
2k-1
=
1
2k+1
=
1
2(k+1)-1

所以當(dāng)n=k+1時猜想也成立.
由�。┖廷ⅲ┛芍�,猜想對任意的n∈N*都成立.                   
所以an=
1
2n-1
.…8分
點評:本題考查數(shù)列遞推式,考查數(shù)列的通項,考查數(shù)學(xué)歸納法,考查學(xué)生分析解決問題的能力,屬于中檔題.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知數(shù)列{an}滿足:a1=1且an+1=
3+4an
12-4an
, n∈N*

(1)若數(shù)列{bn}滿足:bn=
1
an-
1
2
(n∈N*)
,試證明數(shù)列bn-1是等比數(shù)列;
(2)求數(shù)列{anbn}的前n項和Sn;
(3)數(shù)列{an-bn}是否存在最大項,如果存在求出,若不存在說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知數(shù)列{an}滿足
1
2
a1+
1
22
a2+
1
23
a3+…+
1
2n
an=2n+1
則{an}的通項公式
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知數(shù)列{an}滿足:a1=
3
2
,且an=
3nan-1
2an-1+n-1
(n≥2,n∈N*).
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)證明:對于一切正整數(shù)n,不等式a1•a2•…an<2•n!

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知數(shù)列{an}滿足an+1=|an-1|(n∈N*
(1)若a1=
54
,求an
(2)若a1=a∈(k,k+1),(k∈N*),求{an}的前3k項的和S3k(用k,a表示)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•北京模擬)已知數(shù)列{an}滿足an+1=an+2,且a1=1,那么它的通項公式an等于
2n-1
2n-1

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