Question

等差數(shù)列{a_n}中，a₁=1，前n項和為S_n，等比數(shù)列{b_n}各項均為正數(shù)，b₁=2，且s₂+b₂=7，s₄-s₃=2．
（1）求a_n與b_n；
（2）設(shè)c_n=，T_n=c₁•c₂•c₃…c_n   求證：T（n∈N^*）．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)等差數(shù)列{a₁}的公差為d，等比數(shù)列{b_n}的公比為q，由題知：s₂+b₂=7，s₄-b₃=2，由此能求出a_n與b_n．
（2）由c_n=，知，故T_n=．再用數(shù)學(xué)歸納法證明對一切正整數(shù)成立．
解答：解：（1）設(shè)等差數(shù)列{a₁}的公差為d，等比數(shù)列{b_n}的公比為q，
由題知：s₂+b₂=7，s₄-b₃=2，
∴d+2q=5，3d-q²+1=0，
解得，q=2或q=-8（舍去），d=1，
∴a_n=1+（n-1）=n，b_n=2ⁿ．
（2）證明：∵c_n=，
∴，
T_n=．
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明對一切正整數(shù)成立．
①當(dāng)n=1時，，命題成立．
②假設(shè)當(dāng)n=k時，命題當(dāng)n=k時命題成立，
∴．
則當(dāng)n=k+1時，≥•=
=，這就是說當(dāng)n=k+1時命題成立．
綜上所述原命題成立．
點評：本題考查數(shù)列的通項公式的求法，考查不等式的證明，解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理地進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化，合理地運用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明．