（2009•楊浦區(qū)一模）（文）已知△OAB，
OA
=
a
，
OB
=
b
，|
a
|=
2
，|
b
|=
3
，
a
•
b
=1，邊AB上一點P1，這里P1異于A、B．由P1引邊OB的垂線P1Q1，Q1是垂足，再由Q1引邊OA的垂線Q1R1，R1是垂足．又由R1引邊AB的垂線R1P2，P2是垂足．同樣的操作連續(xù)進行，得到點　Pn、Qn、Rn（n∈N*）．設(shè) 
APn
=tn(
b
-
a
)(0＜tn＜1），如圖．
（1）．求|
AB
|的值；
（2）．某同學對上述已知條件的研究發(fā)現(xiàn)如下結(jié)論：
BQ1
=-
2
3
(1-t1)
b
，問該同學這個結(jié)論是否正確？并說明理由；
（3）．當P1、P2重合時，求△P1Q1R1的面積．
分析：（1）先求|
AB
|的平方的值，然后開根號即可；
（2）該同學的結(jié)論正確，利用余弦定理求出cos∠ABO，然后求出|
BP1
|，而|
BQ1
|=|
BP
1 |cos∠ABO，即可知道結(jié)論：
BQ1
=-
2
3
(1-t1)
b
是否正確；
（3）根據(jù)向量的夾角公式求出cos∠BOA和cos∠BAO，從而求出 |
OR1
|=|
OQ
1|cos∠BOA以及
|
AP
2|=|
AR1
|cos∠BAO
的值，當P1、P2重合時，有t1=t2，求出t1的值，最后根據(jù)S△P1Q1R1=S△OAB-S△OR1Q1-S△R1AP1-S△BQ1P1可求出面積．
解答：解：（1）因為△OAB，
OA
=
a
，
OB
=
b
，|
a
|=
2
，|
b
|=
3
，
a
•
b
=1-----（1分）
則 |
AB
|2=|
b
-
a
|2=|
b
|2+|
a
|2-2
a
•
b
=3；所以，|
AB
|=
3
--------------（4分）
（2）該同學的結(jié)論正確．-----------------------------------------（5分）
由（1）與已知，得|
AB
|=
3
，|
OB
|=
3
，|
OA
|=
2

由余弦定理  cos∠ABO=
|
OB
|2+|AB|2-|OA|2
2|
OB
||
AB
|
=
3+3-2
2×
3
×
3
=
2
3
-----------------（6分）
又∵|
AP1
|=t1|
b
-
a
|=
3
t1，則|
BP1
|=|
AB
|-|
AP1
|=
3
-
3
t1
則|
BQ1
|=|
BP
1|cos∠ABO=
2
3
3
(1-t1)，所以，
BQ1
=-
2
3
(1-t1)
b
---------（8分）
（3）由已知得   cos∠BOA=
a
•
b
|
a
||
b
|
=
1
2
×
3
=
1
6
-------------（9分）
（或用余弦定理求得，也可）∵|
OB
|=|
AB
|=
3
，∴cos∠BAO=
1
6
；
 |
OR1
|=|
OQ
1|cos∠BOA=(|
OB
|-|
BQ
1|)cos∠BOA=[
3
-
2
3
3
(1-t1)]×
1
6
=
1
3
2
(1+2t1)
∵|
AP
2|=|
AR1
|cos∠BAO=[|
OA
|-|
OR
1|]cos∠BAO
=[
2
-
1
3
2
(1+2t1)]
1
6
=
1
6
3
(5-2t1)
-------------------------（11分）
所以  t2=
|
AP2
|
|
b
-
a
|
=
1
18
(5-2t1)=-
1
9
t1+
5
18
----------------------------------------------（12分）
當P1、P2重合時，有t1=t2，解t1=-
1
9
t1+
5
18
得t1=
1
4
，---------------------------------（13分）
此時
BQ1
=-
1
2
b
，∴BQ1=
1
2
OB=
3
2
，OR1=
1
2
2
=
2
4
，AP1=
3
4
，BP1=
3
3
4
，R1A=
3
2
4
，R1P1=
15
4
，
易求 S△OAB=
5
2
，S△OR1Q1=
5
16
，S△R1AP1=
3
5
32
，
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1
6
1
6
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