Question

定義：若

h(x)

xk

在[k，+∞]上為增函數(shù)，則稱h（x）為“k次比增函數(shù)”，其中k∈N^*，已知f（x）=e^ax．
（Ⅰ）若f（x）是“1次比增函數(shù)”，求實數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）當a=

1

2

時，求函數(shù)g（x）=

f(x)

x

在[m，m+1]（m＞0）上的最小值；
（Ⅲ）求證：

n

i=1

1

i•( e )i

＜

7

2e

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由于f（x）是“1次比增函數(shù)”，得到y(tǒng)=

eax

x

在[1，+∞]上為增函數(shù)，求導后，分離參數(shù)，即可得到實數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）當a=

1

2

時，得到函數(shù)g（x）=

e  x 2

x

（x≠0），利用導數(shù)即可得到g（x）的單調區(qū)間，分類討論即可函數(shù)在[m，m+1]（m＞0）上單調性，進而得到其最小值；
（Ⅲ）由（Ⅱ）當x＞0時，g（x）=

e  x 2

x

≥

e

2

，即

x

e  x 2

≤

2

e

（x＞0），則

1

n•( e )n

=

n

n2•( e )n

≤

1

n2

•

2

e

，即可證明：

n

i=1

1

i•( e )i

＜

7

2e

．

解答：解：（Ⅰ）由題意知，f（x）=e^ax是“1次比增函數(shù)”，
則y=

eax

x

在[1，+∞]上為增函數(shù)，
故（

eax

x

）′=

eax(ax-1)

x2

≥0在[1，+∞]上恒成立，
又由e^ax＞0，x²＞0，
則ax-1≥0即a≥

1

x

在[1，+∞]上恒成立，
又由(

1

x

)max=1，則a≥1；
（Ⅱ）當a=

1

2

時，函數(shù)g（x）=

f(x)

x

=

e  x 2

x

（x≠0），
則g′（x）=

e  x 2 ( x 2 -1)

x2

當

x

2

-1＞0，即x＞2時，g′（x）＞0，當

x

2

-1＜0，
即x＜0或0＜x＜2時，g′（x）＜0，
則g（x）的增區(qū)間是（2，+∞），減區(qū)間是（-∞，0），（0，2），
由于m＞0，則m+1＞1，
①當m+1≤2，即0＜m≤1時，g（x）在[m，m+1]（m＞0）上單調遞減，
則g（x）_min=g（m+1）=

e  m+1 2

m+1

；
②當m＜2＜m+1，即0＜m≤1時，g（x）在[m，2）上單調遞減，在（2，m+1]上單調遞增，
則g（x）_min=g(2)=

e

2

；
③當m≥2時，g（x）在[m，m+1]上單調遞增，
則g（x）_min=g(m)=

e  m 2

m

；
綜上，當0＜m≤1時，g（x）_min=g（m+1）=

e  m+1 2

m+1

；
②當0＜m≤1時，g（x）_min=g(2)=

e

2

；
③當m≥2時，g（x）_min=g(m)=

e  m 2

m

；
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，當x＞0時，g（x）=

e  x 2

x

≥

e

2

，
∴

x

e  x 2

≤

2

e

（x＞0），
∴

1

n•( e )n

=

n

n2•( e )n

≤

1

n2

•

2

e

∴

n

i=1

1

i•( e )i

=

1

e

+

1

2•( e )2

+

1

3•( e )3

+…+

1

n( e )n

≤

2

e

（1+

1

22

+

1

32

+…+

1

n2

）＜

2

e

（1+

1

22-1

+…+

1

n2-1

）
=

2

e

[1+

1

2

（1-

1

3

）+

1

2

（

1

2

-

1

4

）+

1

2

（

1

3

-

1

5

）+…+

1

2

(

1

n-1

-

1

n+1

)]
═

2

e

[1+

1

2

（1+

1

2

-

1

n

-

1

n+1

）]＜

7

2e

點評：本題對學生的程度要求比較高，有一定的難度，主要考查利用函數(shù)單調性求函數(shù)的最值，及不等式的等價轉化思想．