定義：若
h(x)
xk
在[k，+∞]上為增函數(shù)，則稱h（x）為“k次比增函數(shù)”，其中k∈N*，已知f（x）=eax．
（Ⅰ）若f（x）是“1次比增函數(shù)”，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）當(dāng)a=
1
2
時(shí)，求函數(shù)g（x）=
f(x)
x
在[m，m+1]（m＞0）上的最小值；
（Ⅲ）求證：
n
i=1
1
i•(
e
)i
＜
7
2e
．
分析：（Ⅰ）由于f（x）是“1次比增函數(shù)”，得到y(tǒng)=
eax
x
在[1，+∞]上為增函數(shù)，求導(dǎo)后，分離參數(shù)，即可得到實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）當(dāng)a=
1
2
時(shí)，得到函數(shù)g（x）=
e 
x
2
x
（x≠0），利用導(dǎo)數(shù)即可得到g（x）的單調(diào)區(qū)間，分類討論即可函數(shù)在[m，m+1]（m＞0）上單調(diào)性，進(jìn)而得到其最小值；
（Ⅲ）由（Ⅱ）當(dāng)x＞0時(shí)，g（x）=
e 
x
2
x
≥
e
2
，即
x
e 
x
2
≤
2
e
（x＞0），則
1
n•(
e
)n
=
n
n2•(
e
)n
≤
1
n2
•
2
e
，即可證明：
n
i=1
1
i•(
e
)i
＜
7
2e
．
解答：解：（Ⅰ）由題意知，f（x）=eax是“1次比增函數(shù)”，
則y=
eax
x
在[1，+∞]上為增函數(shù)，
故（
eax
x
）′=
eax(ax-1)
x2
≥0在[1，+∞]上恒成立，
又由eax＞0，x2＞0，
則ax-1≥0即a≥
1
x
在[1，+∞]上恒成立，
又由(
1
x
)max=1，則a≥1；
（Ⅱ）當(dāng)a=
1
2
時(shí)，函數(shù)g（x）=
f(x)
x
=
e 
x
2
x
（x≠0），
則g′（x）=
e 
x
2
(
x
2
-1)
x2

當(dāng)
x
2
-1＞0，即x＞2時(shí)，g′（x）＞0，當(dāng)
x
2
-1＜0，
即x＜0或0＜x＜2時(shí)，g′（x）＜0，
則g（x）的增區(qū)間是（2，+∞），減區(qū)間是（-∞，0），（0，2），
由于m＞0，則m+1＞1，
①當(dāng)m+1≤2，即0＜m≤1時(shí)，g（x）在[m，m+1]（m＞0）上單調(diào)遞減，
則g（x）min=g（m+1）=
e 
m+1
2
m+1
；
②當(dāng)m＜2＜m+1，即0＜m≤1時(shí)，g（x）在[m，2）上單調(diào)遞減，在（2，m+1]上單調(diào)遞增，
則g（x）min=g(2)=
e
2
；
③當(dāng)m≥2時(shí)，g（x）在[m，m+1]上單調(diào)遞增，
則g（x）min=g(m)=
e 
m
2
m
；
綜上，當(dāng)0＜m≤1時(shí)，g（x）min=g（m+1）=
e 
m+1
2
m+1
；
②當(dāng)0＜m≤1時(shí)，g（x）min=g(2)=
e
2
；
③當(dāng)m≥2時(shí)，g（x）min=g(m)=
e 
m
2
m
；
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，當(dāng)x＞0時(shí)，g（x）=
e 
x
2
x
≥
e
2
，
∴
x
e 
x
2
≤
2
e
（x＞0），
∴
1
n•(
e
)n
=
n
n2•(
e
)n
≤
1
n2
•
2
e

∴
n
i=1
1
i•(
e
)i
=
1
e
+
1
2•(
e
)2
+
1
3•(
e
)3
+…+
1
n(
e
)n

≤
2
e
（1+
1
22
+
1
32
+…+
1
n2
）＜
2
e
（1+
1
22-1
+…+
1
n2-1
）
=
2
e
[1+
1
2
（1-
1
3
）+
1
2
（
1
2
-
1
4
）+
1
2
（
1
3
-
1
5
）+…+
1
2
(
1
n-1
-
1
n+1
)]
═
2
e
[1+
1
2
（1+
1
2
-
1
n
-
1
n+1
）]＜
7
2e
點(diǎn)評(píng)：本題對(duì)學(xué)生的程度要求比較高，有一定的難度，主要考查利用函數(shù)單調(diào)性求函數(shù)的最值，及不等式的等價(jià)轉(zhuǎn)化思想．
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