Question

過點(1，0)的直線l與中心在原點，焦點在x軸上且離心率為的橢圓C相交于A、B兩點，直線y=x過線段AB的中點，同時橢圓C上存在一點與右焦點關于直線l對稱，試求直線l與橢圓C的方程.

Answer 1

所求橢圓C的方程為 =1,l的方程為y=－x+1

解法一: 由e=,得,從而a²=2b²,c=b.
設橢圓方程為x²+2y²=2b²,A(x₁,y₁),B(x₂,y₂)在橢圓上.
則x₁²+2y₁²=2b²,x₂²+2y₂²=2b²,兩式相減得，(x₁²－x₂²)+2(y₁²－y₂²)=0,
設AB中點為(x₀,y₀),則k_AB=－,又(x₀,y₀)在直線y=x上，y₀=x₀,于是－=－1,k_AB=－1,設l的方程為y=－x+1.
右焦點(b,0)關于l的對稱點設為(x′,y′),

由點(1,1－b)在橢圓上，得1+2(1－b)²=2b²,b²=.
∴所求橢圓C的方程為 =1,l的方程為y=－x+1.
解法二: 由e=,從而a²=2b²,c=b.
設橢圓C的方程為x²+2y²=2b²,l的方程為y=k(x－1),
將l的方程代入C的方程，得(1+2k²)x²－4k²x+2k²－2b²=0,則x₁+x₂=,y₁+y₂=k(x₁－1)+k(x₂－1)=k(x₁+x₂)－2k=－.
直線l: y=x過AB的中點(),則,解得k=0，或k=－1.
若k=0,則l的方程為y=0,焦點F(c,0)關于直線l的對稱點就是F點本身，不能在橢圓C上，所以k=0舍去，從而k=－1，直線l的方程為y=－(x－1),即y=－x+1,以下同解法一.