Question

如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁=4，AB=5，BC=3，AC=4，D、E分半為CC₁、AB的中點．
（1）求異面直線AD與A₁B₁所成角的余弦值；
（2）求證：AD⊥A₁E；
（3）求點D到平面B₁C₁E的距離．

Answer 1

考點：異面直線及其所成的角,點、線、面間的距離計算

專題：空間位置關系與距離,空間角

分析：（1）以C為原點，CB為x軸，CA為y軸，CC₁為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出異面直線AD與A₁B₁所成角的余弦值．
（2）求出

AD

=（0，-4，2），

A1E

=（

3

2

，-2，-4），利用向量法能證明AD⊥A₁E．
（3）求出平面B₁C₁E的法向量，利用向量法能求出點D到平面B₁C₁E的距離．

解答： （1）解：∵在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁=4，AB=5，BC=3，AC=4，
∴BC⊥AC，以C為原點，CB為x軸，CA為y軸，
CC₁為z軸，建立空間直角坐標系，
A（0，4，0），D（0，0，2），
A₁（0，4，4），B₁（3，0，4），

AD

=（0，-4，2），

A1B1

=（3，-4，0），
cos＜

AD

，

A1B1

＞=

16

20 × 25

=

8 5

25

．
∴異面直線AD與A₁B₁所成角的余弦值為

8 5

25

．
（2）證明：A（0，4，0），B（3，0，0），
E（

3

2

，2，0）

AD

=（0，-4，2），

A1E

=（

3

2

，-2，-4），
∴

AD

•

AE

=0+8-8=0，∴

AD

⊥

A1E

∴AD⊥A₁E．
（3）解：D（0，0，2），B₁（3，0，4），C₁（0，0，4），E（

3

2

，2，0），

B1C1

=（-3，0，0），

B1E

=（-

3

2

，2，-4），

B1D

=（-3，0，2），
設平面B₁C₁E的法向量

n

=（x，y，z），
則

n • B1C1 =-3x=0 n • B1E =- 3 2 x+2y-4z=0

，取y=2，得

n

=（0，2，1），
∴點D到平面B₁C₁E的距離d=

| B1D • n |

| n |

=

|2|

5

=

2 5

5

．

點評：本題考查異面直線所成角的余弦值的求法，考查異面直線垂直的證明，考查點到平面的距離的求法，解題時要注意向量法的合理運用．