Question

已知函數(shù)f（x）=x²+（a+1）x+lg|a+2|（a∈R，且a≠-2）．
（1）寫出一個奇函數(shù)g（x）和一個偶函數(shù)h（x），使f（x）=g（x）+h（x）；
（2）對（1）中的g（x）．命題P：函數(shù)f（x）在區(qū)間[（a+1）²，+∞）上是增函數(shù)；命題Q：函數(shù)g（x）是減函數(shù)；如果命題P、Q有且僅有一個是真命題，求a的取值范圍；
（3）在（2）的條件下，求f（2）的取值范圍．

Answer 1

解：（1）由題意可得 h（x）=x²+lg|a+2|； g（x）=（a+1）x．
（2）由二次函數(shù)f（x））=x²+（a+1）x+lg|a+2|的圖象是開口向上的拋物線，且的對稱軸為 x=，
在區(qū)間[（a+1）²，+∞）上是增函數(shù)，故有 ，解得，因為a≠-2．
由函數(shù)g（x）是減函數(shù)得a+1＜0，解得a＜-1，a≠-2．
當命題P真且命題Q假時，由，解得a≥-1．
當命題P假且命題Q真時，由，即得-＜a＜-1．
故當命題P、Q有且僅有一個是真命題，得a的取值范圍是．
（3）f（2）=4+2a+2+lg|a+2|=6+2a+lg（a+2），因為在上遞增，
所以，，即：f（2）∈（3-lg2，+∞）．
分析：（1）由題意可得 h（x）=x²+lg|a+2|； g（x）=（a+1）x．
（2）由函數(shù)f（x）在區(qū)間[（a+1）²，+∞）上是增函數(shù)得 ，求出a的范圍為集合A，由函數(shù)g（x）是減函數(shù)得a+1＜0，求出a的范圍為集合B，則（A∩）∪（∩B）即為所求．
（3）求出f （2），由函數(shù)在上遞增，可得f （2）＞f （- ），從而得到所求．
點評：本題考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，不等式的解法，求兩個集合的交集、并集和補集，準確運算是解題的難點．