Question

設S_n是正項數列B的前n項和，2Sn=an2+an．
（Ⅰ）求證數列{a_n}是等差數列，并求{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）已知bn=

an

2an

，求{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由給出的數列的遞推式，取n=1時，求出a₁，取n=n-1寫出第二個遞推式，兩式相減后整理，得到a_n-a_n-1=1，即可證明數列{a_n}是等差數列；
（Ⅱ）把（Ⅰ）中求出的{a_n}的通項公式代入b_n，然后利用錯位相減法求數列{b_n}的前n項和T_n．

解答：解：（Ⅰ）由2Sn=an2+an．
當n=1時，2a1=a12+a1，又a₁＞0，解得a₁=1．
當n≥2時，2an=2(Sn-Sn-1)=(

a

2 n

+an)-(

a

2 n-1

+an-1)，
∴2an=

a

2 n

-

a

2 n-1

+an-an-1，
∴an2-an-12=an+an-1，
∴（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-1）=0，
∵a_n+a_n-1＞0，
∴a_n-a_n-1=1
則數列{a_n}是以1為首項，1為公差的等差數列
∴a_n=a₁+（n-1）d=1+（n-1）=n．
（Ⅱ）∵bn=

n

2n

，
∴Tn=

1

2

+

2

22

+

3

23

+…+

n

2n

①
又因為

1

2

Tn=

1

22

+

2

23

+

3

24

+…+

n

2n+1

②
①-②得：

1

2

Tn=

1

2

+

1

22

+

1

23

++…+

1

2n

-

n

2n+1

=

1 2 (1- 1 2n )

1- 1 2

-

n

2n+1

=1-

1

2n

-

n

2n+1

=1-

n+2

2n+1

所以Tn=2-

n+2

2n

．

點評：本題考查了等差數列的通項公式，考查了利用錯位相減法求數列的前n項和，由一個等差數列和一個等比數列的積構成的數列，求其前n項和，一般是借助于錯位相減法，此題是中檔題．