Question

如圖所示，已知直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD⊥DCAB∥DC，且滿足
DC-DD₁=2AD=2AB=2．
（1）求證：DB⊥平面B₁BCC；
（2）求二面角A₁-BD-C₁的余弦值．

Answer 1

分析：（1）設(shè)E是DC的中點(diǎn)，連接BE，BD⊥BC，又BD⊥BB₁，B₁B∩BC=B，根據(jù)線面垂直的判定定理可知BD⊥平面BCC₁B₁；
（2）取DB的中點(diǎn)F，連接A₁F，取DC₁的中點(diǎn)M，連接FM，根據(jù)二面角的定義證得∠A₁FM為二面角A₁-BD-C₁的平面角，取D₁C₁的中點(diǎn)H，連接A₁H，HM，在Rt△A₁HM中求出∠A₁FM即可．

解答：解：（1）設(shè)E是DC的中點(diǎn)，連接BE，
則四邊形DABE為正方形，∴BE⊥CD．故BD=

2

，BC=

2

，CD=2，
∴∠DBC=90°，即BD⊥BC．
又BD⊥BB₁，B₁B∩BC=B
∴BD⊥平面BCC₁B₁，（6分）
（2）由（I）知DB⊥平面BCC₁B₁，
又BC₁?平面BCC₁B₁，∴BD⊥BC₁，
取DB的中點(diǎn)F，連接A₁F，又A₁D=A₁B，
則A₁F⊥BD．取DC₁的中點(diǎn)M，連接FM，則FM∥BC₁，∴FM⊥BD．
∴∠A₁FM為二面角A₁-BD-C₁的平面角．
連接A₁M，在△A₁FM中，A₁F=

3 2

2

，
FM=

1

2

BC1=

1

2

BC2+CC12

=

6

2

，
取D₁C₁的中點(diǎn)H，連接A₁H，HM，在Rt△A₁HM中，
∵A₁H=

2

，HM=1，∴A₁M=

3

．
∴cos∠A₁FM=

3

3

．
∴二面角A₁-BD-C₁的余弦值為

3

3

．

點(diǎn)評：本題主要考查了直線與平面垂直，以及二面角等基礎(chǔ)知識，考查空間想象能力、運(yùn)算能力和推理論證能力，屬于中檔題．