Question

已知函數(shù)f（x）=x|m-x|（x∈R），且f（1）=0．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）作出函數(shù)f（x）的圖象，并指出函數(shù)f（x）的單調區(qū)間；
（Ⅲ）求不等式的解集．

Answer 1

解：（Ⅰ）由f（1）=|m-1|=0?m=1．
∴f（x）=x|1-x|=

所以函數(shù)f（x）的解析式為：f（x）=．


（Ⅱ）圖象如圖：
∴函數(shù)f（x）的單調遞增區(qū)間是和[1，+∞），f（x）的單調遞減區(qū)間是；
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，函數(shù)f（x）=-x²+x在區(qū)間（-∞，1）上的最大值為，
又∵函數(shù)f（x）=x²-x在區(qū)間（1，∞）上單調遞增，
如圖可知，在區(qū)間（1，∞）上存在x₀，有f（x₀）=．
即令x²-x=，解得x=．
又∵x∈（1，∞），
∴x₀=．
∴不等式f（x）＞的解集是．

解法二：∵x|1-x|＞，
∴①
或②
解①此不等式組無解，解②x＞．
∴不等式f（x）＞的解集是．
分析：本題考查的是分段函數(shù)問題．在解答時，對（Ⅰ）由f（1）=0即可求得m的值，從而獲得函數(shù)f（x）的解析式；對（Ⅱ）根據(jù)自變量的取值范圍不同分別不同段上的函數(shù)圖象即可，注意是兩部分開口不同的二次函數(shù)圖象，進而由圖象直接讀出函數(shù)的單調區(qū)間即可；對（Ⅲ）可采取通過函數(shù)解答不等式和分類討論直接解絕對值不等式兩種方法處理；
法二：對，可以先根據(jù)變量x的范圍去絕對值，再解相應的不等式即可．
點評：本題考查的是分段函數(shù)問題．在解答的過程當中充分體現(xiàn)了分類討論的思想、數(shù)形結合的思想、函數(shù)與方程的思想以及問題轉化的思想．值得同學們體會和反思．