若函數(shù)f(x)在定義域上存在不相等的實(shí)數(shù)x1、x2,使得
f(x1)+f(x2)
2
=f(
x1+x2
2
)
,則稱此函數(shù)為“和諧函數(shù)”.下列函數(shù)中是“和諧函數(shù)”的是( 。
分析:選項(xiàng)A可以用反證法;選項(xiàng)B和D可借助于圖象直觀說明;選項(xiàng)D取值驗(yàn)證即可.
解答:解:若f(x)=x2為和諧函數(shù),則存在x1≠x2,使得
x12+x22
2
=(
x1+x2
2
)2
,即
2x12+2x22
4
=
x12+2x2x1+x22
4
,所以有(x1-x2)2=0,x1=x2,與x1≠x2矛盾,所以A不正確;
等式
f(x1)+f(x2)
2
=f(
x1+x2
2
)
是指若點(diǎn)(x1,y1),(x2,y2)在一個(gè)函數(shù)圖象上,它們的中點(diǎn)也在這個(gè)函數(shù)圖象上,
由指數(shù)函數(shù)f(x)=2x和對(duì)數(shù)函數(shù)f(x)=log
1
2
x
的圖象如圖可知,兩函數(shù)圖象上不存在兩點(diǎn)滿足上面等式,所以B、D不正確;
對(duì)于C,取x1=-
π
4
,x2=
π
4
,則有
tan(-
π
4
)+tan
π
4
2
=tan
-
π
4
+
π
4
2
,所以函數(shù)f(x)=tanx為和諧函數(shù).
故選C.
點(diǎn)評(píng):本題考查了進(jìn)行簡單的演繹推理,考查了反證法和特殊值法,考查了學(xué)生對(duì)指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)圖的理解與掌握.
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①f(x)=sinx+cosx,②f(x)=lnx-2x,③f(x)=-x4+x3-x2+1,④f(x)=-xe-x
以上四個(gè)函數(shù)在(0,
π2
)
上是凸函數(shù)的是
①②③
①②③
(請(qǐng)把所有正確的序號(hào)均填上)

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(1)若f(x)在x=2時(shí)取得極小值,求b的值;
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設(shè)函數(shù)f(x)=(x-1)2+blnx.
(1)若f(x)在x=2時(shí)取得極小值,求b的值;
(2)若函數(shù)f(x)在定義城上是單調(diào)函數(shù),求b的取值范圍.

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