Question

若f（x）的定義域為R，若對任意不等實數(shù)x₁、x₂滿足

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＜0，且對任意x、y∈R，f（x²-2x）+f（2y-y²）≤0恒成立，又f （x-1）的圖象關于（1，0）對稱．則當1≤x≤4，

y

x

的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：函數(shù)恒成立問題

專題：計算題,函數(shù)的性質及應用

分析：由

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＜0，可得：函數(shù)f（x）是遞減函數(shù)．由函數(shù)y=f（x-1）的圖象關于點（1，0）對稱，可得函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，再結合f（x²-2x）+f（2y-y²）≤0可得（x-y）（x+y-2）≥0（1≤x≤4），
進而利用線性規(guī)劃的知識解決問題．

解答： 解：因為對任意不等實數(shù)x₁，x₂滿足

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＜0，
所以函數(shù)f（x）是定義在R上的單調遞減函數(shù)．
因為函數(shù)y=f（x-1）的圖象關于點（1，0）對稱，
所以函數(shù)y=f（x）的圖象關于點（0，0）對稱，即函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)．
又因為對于任意的x，y∈R，不等式f（x²-2x）+f（2y-y²）≤0成立，
所以f（x²-2x）≤f（-2y+y²）成立，
所以根據(jù)函數(shù)的單調性可得：對于任意的x，y∈R，不等式x²-2x≥y²-2y成立，
即（x-y）（x+y-2）≥0（1≤x≤4），
所以可得其可行域，如圖所示：
因為

y

x

=

y-0

x-0

，
所以

y

x

表示點（x，y）與點（0，0）連線的斜率，
所以結合圖象可得：

y

x

的最小值是直線OC的斜率-

1

2

，最大值是直線AB的斜率1，
所以

y

x

的范圍為：[-

1

2

，1]．
故答案為：[-

1

2

，1]．

點評：解決此類問題的關鍵是熟練掌握抽象函數(shù)的性質的證明與判斷，如單調性、奇偶性的證明與判斷，并且熟練的利用函數(shù)的性質解有關的不等式，以及熟練掌握線性規(guī)劃問題，此題綜合性較強知識點也比較零散，對學生掌握知識與運用知識的能力有一定的要求．