Question

已知函數(shù)f（x）=2sincos-2sin²+．
（1）求函數(shù)f（x）的最大值，并寫出相應(yīng)的x取值集合；
（2）令f（α+）=，且α∈（0，π），求tan2α的值．

Answer 1

解：（1）∵=sin+cos=2sin（+），…（2分）
∴f（x）的最小正周期T==4π．…（4分）
因?yàn)椋?1≤sin（+）≤1 所以，f（x）的最大值為2．…（6分）
相應(yīng)值的集合為{x|x=4k，k∈Z} …（7分）
（2）由（Ⅰ）知，f（x）=2sin（+），f（α+）=，
2sin[（α+）+]=2sin（+）=2cos，
∴2cos=，所以cos=，cosα=2cos²α-1=- …（10分）
又因?yàn)棣痢剩?，π），所以sinα==，
∴tanα==-，
∴tan2α==- …（13分）
分析：利用二倍角公式、兩角和的正弦函數(shù)化簡(jiǎn)函數(shù)為y=2sin（+），
（1）直接利用正弦函數(shù)的值域，求出函數(shù)的最大值，寫出最大值時(shí)的x的值即可．
（2）求出的表達(dá)式．通過(guò)表達(dá)式的值是，求出cosα，sinα，然后求出tanα，通過(guò)二倍角的正切函數(shù)求解即可．
點(diǎn)評(píng)：本題是中檔題，考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)與求值，考查三角函數(shù)的基本性質(zhì)，二倍角的正切函數(shù)的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，�？碱}型．