Question

如圖，△ABC內(nèi)接于圓柱的底面圓O，AB是圓O的直徑，AB=2，BC=1，DC、EB是兩條母線，且 tan∠EAB=

3

2

．
（1）求三棱錐C-ABE的體積；
（2）證明：平面ACD⊥平面ADE；
（3）在CD上是否存在一點M，使得MO∥平面ADE，證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：（1）利用圓柱母線的性質(zhì)和“等積變形”即可得出；
（2）利用圓柱母線的性質(zhì)、線面、面面垂直的判定和性質(zhì)即可得出．
（3）利用三角形的中位線定理和線面、面面平行的判定和性質(zhì)定理即可證明．

解答：解：（1）∵EB是圓柱的母線，∴EB⊥平面ABC．
又∵tan∠EAB=

3

2

=

EB

AB

=

EB

2

，∴EB=

3

．
∵AB是圓O的直徑，∴∠ACB=90°．
又AB=2，BC=1，∴AC=

3

，
∴S△ABC=

1

2

×1×

3

=

3

2

，
∴V_C-ABE=V_E-ABC=

1

3

S△ABC×EB=

1

3

×

3

2

×

3

=

1

2

．
（2）∵DC、EB是兩條母線，∴DC⊥平面ABC，DC∥EB，DC=EB．
∴四邊形BCDE是矩形，∴ED∥BC．
∵DC⊥平面ABC，∴BC⊥DC．
又AC∩DC=C，∴BC⊥平面ACD，
∴ED⊥平面ACD，
∵ED?平面AED，∴平面ACD⊥平面ADE．
（3）在CD上存在一點M為線段CD的中點，使得MO∥平面ADE．
連接BD，取其中點F，連接OM、FM．
由三角形的中位線定理可得：OF∥AD，
而OF?平面ADE，AD?平面ADE，
∴OF∥平面ADE．
同理可知：FM∥平面ADE．
又OF∩FM=F．
∴平面OFM∥平面ADE．
∴OM∥平面ADE．

點評：熟練掌握圓柱母線的性質(zhì)和“等積變形”、線面、面面垂直與平行的判定和性質(zhì)、三角形的中位線定理是解題的關(guān)鍵．