Question

如圖，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D為線段A₁C₁中點．
（Ⅰ）求證：BC₁∥平面AB₁D；
（Ⅱ）若AA₁=

3

，二面角A-B₁D-A₁的大小為60⁰，求線段 AB 的長度．

Answer 1

分析：（Ⅰ）連A₁B交AB₁于點E，由題意可得：E為AB₁的中點，即可得到BC₁∥DE，進而利用線面平行的判定定理得到線面平行．
（Ⅱ）結(jié)合題中的條件建立空間直角坐標系，設(shè)AB=a，再寫出各點的坐標，即可求出兩個平面的法向量，進而利用向量之間的有關(guān)運算求出兩個向量的夾角，再將其轉(zhuǎn)化為二面角的平面角．

解答：證明：（Ⅰ）連A₁B交AB₁于點E，
∵四邊形A₁ABB₁為矩形，
∴E為AB₁的中點…．（1分）
又D為線段A₁C₁中點，
∴BC₁∥DE…..（3分）
∵BC₁?平面AB₁D，DE?平面AB₁D．
∴BC₁∥平面AB₁D…..（6分）
解：（Ⅱ）以點A為原點，AB為X軸正半軸，平面ABC內(nèi)過A垂直于AB的直線為Y軸，AA₁為Z軸，建立空間直角坐標系，設(shè)AB=a，
則A（0，0，0），A₁（0，0，

3

），B₁（a，0，

3

），D（

a

4

，

3

4

a，

3

)，
∴

AB1

=(a，0，

3

)，

AD

=

a

4

，

3

2

，

3

)，
設(shè)

n

=(x，y，z)⊥平面AB₁D，則

n

⊥

AB1

，

n

⊥

AD

，
故

n

•

AB1

=0，

n

•

AD

=0，
則ax+0+

3

z=0，

a

4

x+

3

4

ay+

3

z=0，
解得：y=

3

x，z=-

3

3

ax，
取

n=

(1，

3

，-

3

3

a)…．（9分）
∵AA₁⊥平面A₁B₁C₁，
∴

AA1

=(0，0，

3

)是平面A₁B₁C₁的一個法向量，
∴cos?

n

，

AA1

＞=

n • AA1

| n |•| AA1 |

=

-a

4+ 1 3 a2 • 3

=-

1

2

，
解得a=2，
∴線段 AB 的長度為2．…（12分）

點評：解決此類問題的關(guān)鍵是熟練則線面平行的判定定理與幾何體的結(jié)構(gòu)特征，對于求二面角的平面角的知識點，其關(guān)鍵是做角，一般是結(jié)合圖形的結(jié)構(gòu)及題設(shè)條件正確作出平面角來，也可以根據(jù)幾何體的結(jié)構(gòu)特征建立空間直角坐標系利用向量的有關(guān)知識解決空間角等問題