試題分析:(1)函數(shù)在
處單調性發(fā)生變化,所以
,由
得
.(2)因為
,所以
,因此
因為函數(shù)
在
上有三個零點,所以
必有兩個不等的根
,
.又
在
上是增函數(shù),所以大根不小于1,即
,
,故
的取值范圍為
.(3)已知不等式解集求參數(shù)取值范圍,有兩個解題思路,一是解不等式,根據(jù)解集包含關系對應參數(shù)取值范圍.二是轉化,將不等式在區(qū)間有解理解為恒成立問題,利用函數(shù)最值解決參數(shù)取值范圍.本題由于已知
是其中一個零點,所以兩個方法都簡便.否則應利用變量分離求最值法.
試題解析:(1)∵f(x)=-x3+ax2+bx+c,∴
. 1分
∵f(x)在
上是減函數(shù),在
上是增函數(shù),
∴當
時,
取到極小值,即
.∴
. 3分
(2)由(1)知,
,
∵
是函數(shù)
的一個零點,即
,∴
. 5分
∵
的兩個根分別為
,
.
又∵
在
上是增函數(shù),且函數(shù)
在
上有三個零點,
∴
,即
. 7分
∴
.
故
的取值范圍為
. 9分
(3)解法1:由(2)知
,且
.
∵
是函數(shù)
的一個零點,∴
,
∵
,∴
,
∴點
是函數(shù)
和函數(shù)
的圖像的一個交點. 10分
結合函數(shù)
和函數(shù)
的圖像及其增減特征可知,當且僅當函數(shù)
和函數(shù)
的圖像只有一個交點
時,
的解集為
.
即方程組
①只有一組解:
11分
由
,得
.
即
.
即
.
∴
或
. 12分
由方程
②
得
.∵
,
當
,即
,解得
. 13分
此時方程②無實數(shù)解,方程組①只有一個解
所以
時,
的解集為
. 14分
(3)解法2:由(2)知
,且
.
∵1是函數(shù)
的一個零點
又
的解集為
,
∴
的解集為
. 10分
.
. 12分
.
. 14分