設y＝f(x)是定義在R上的函數(shù)，如果存在A點，對函數(shù)y＝f(x)的圖像上任意點P，P關于點A的對稱點Q也在函數(shù)y＝f(x)的圖像上，則稱函數(shù)y＝f(x)關于點A對稱，A稱為函數(shù)f(x)的一個對稱點．對于定義在R上的函數(shù)f(x)，可以證明點A(a，b)是f(x)圖像的一個對稱點的充要條件是f(a－x)＋f(a＋x)＝2b，x∈R．

(1)求函數(shù)f(x)＝x3＋3x2圖像的一個對稱點；

(2)函數(shù)

答案：
解析：

　　解：(1)設為函數(shù)圖像的一個對稱點，則對于恒成立．即對于恒成立，

　　由，

　　故函數(shù)圖像的一個對稱點為．

　　(2)假設是函數(shù)的圖像的一個對稱點，則

　　對于恒成立，即

　　對于恒成立，

　　所以．

　　故函數(shù)的圖像有一個對稱點．

　　(其實，而函數(shù)是奇函數(shù)，其圖象關于原點對稱，故的圖象關于對稱)


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相關習題

科目：高中數(shù)學 來源：中學教材標準學案　數(shù)學　高二上冊 題型：044

設y＝f(x)是定義在區(qū)間[－1，1]上的函數(shù)，且滿足條件：

①f(－1)＝f(1)＝0；

②對任意的u，v∈[－1，1]，都有|f(u)－f(v)|≤|u－v|．

(1)證明：對任意的x∈[－1，1]，都有x－1≤f(x)≤1－x；

(2)判斷函數(shù)g(x)＝是否滿足題設條件；

(3)在區(qū)間[－1，1]上是否存在滿足題設條件的函數(shù)y＝f(x)，且使得對任意的u，v∈[－1，1]，都有|f(u)－f(v)|＝|u－v|．

若存在，請舉一例；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源：設計選修數(shù)學－1-2蘇教版 蘇教版 題型：044

(精典回放)設y＝f(x)是定義在區(qū)間[－1，1]上的函數(shù)，且滿足條件：①f(－1)＝f(1)＝0；②對任意的μ、v∈[－1，1]，都有|f(u)－f(v)|≤|μ－v|

(1)證明：對任意的x∈[－1，1]，都有x－1≤f(x)≤1－x；

(2)證明：對任意的μ、v∈[－1，1]，都有

|f(u)－f(v)|≤1；

(3)在區(qū)間[－1，1]上是否存在滿足題設條件的奇函數(shù)y＝f(x)，且使得：

|f(μ)－f(v)|＜|μ－v|，當μ、v∈[0，]．

|f(μ)－f(v)|＜|μ－v|，當μ、v∈[，1]．

若存在，請舉一例；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源：泰州市2006～2007學年度第一學期期末聯(lián)考高3數(shù)學試題 題型：022

設y＝f(x)是定義在R上的函數(shù)，給定下列三個條件：(1)y＝f(x)是偶函數(shù)；(2)y＝f(x)的圖象關于直線x＝1對稱；(3)T＝2為y＝f(x)的一個周期．如果將上面(1)、(2)、(3)中的任意兩個作為條件，余下一個作為結論，那么構成的三個命題中真命題的個數(shù)有________個．

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科目：高中數(shù)學 來源：天津市新人教A版數(shù)學2012屆高三單元測試8：奇偶性及周期性 新人教A版 題型：044

設y＝f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，其圖象關于x＝1對稱，對任意的，都有，且f(1)＝a＞0

(1)求；

(2)證明：y＝f(x)是周期函數(shù)．

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