已知函數(shù),
是大于零的常數(shù).
(Ⅰ)當(dāng)時(shí),求
的極值;
(Ⅱ)若函數(shù)在區(qū)間
上為單調(diào)遞增,求實(shí)數(shù)
的取值范圍;
(Ⅲ)證明:曲線上存在一點(diǎn)
,使得曲線
上總有兩點(diǎn)
,且
成立.
(I)極大值,極小值
.
(Ⅱ)當(dāng)函數(shù)在區(qū)間
上為單調(diào)遞增時(shí),
或
.
(Ⅲ)曲線上存在一點(diǎn)
,使得曲線
上總有兩點(diǎn)
,且
成立
.
【解析】
試題分析:(I)求極值一般遵循“求導(dǎo)數(shù)、求駐點(diǎn)、討論區(qū)間的導(dǎo)數(shù)值正負(fù)、計(jì)算極值”.
(Ⅱ)函數(shù)在區(qū)間
上為單調(diào)遞增,因此,其導(dǎo)函數(shù)為正數(shù)恒成立,據(jù)此建立
的不等式求解.
應(yīng)注意結(jié)合的不同取值情況加以討論.
(Ⅲ)通過(guò)確定函數(shù)的極大值、極小值點(diǎn),
,
并確定
的中點(diǎn)
.
設(shè)是圖象任意一點(diǎn),由
,可得
,
根據(jù),可知點(diǎn)
在曲線
上,作出結(jié)論.
本題難度較大,關(guān)鍵是能否認(rèn)識(shí)到極大值、極小值點(diǎn),
的中點(diǎn)即為所求.
試題解析:(I),
,
當(dāng)時(shí),
,
令得
.
在
分別單調(diào)遞增、單調(diào)遞減、單調(diào)遞增,
于是,當(dāng)時(shí),函數(shù)有極大值
,
時(shí),有極小值
.
------4分
(Ⅱ),若函數(shù)
在區(qū)間
上為單調(diào)遞增,
則在
上恒成立,
當(dāng),即
時(shí),由
得
;
當(dāng),即
時(shí),
,無(wú)解;
當(dāng),即
時(shí),由
得
.
綜上,當(dāng)函數(shù)在區(qū)間
上為單調(diào)遞增時(shí),
或
. 10分
(Ⅲ),
,
令,得
,
在區(qū)間
,
,
上分別單調(diào)遞增,單調(diào)遞減,單調(diào)遞增,
于是當(dāng)時(shí),有極大值
;
當(dāng)時(shí),有極小值
.
記,
,
的中點(diǎn)
,
設(shè)是圖象任意一點(diǎn),由
,得
,
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/2014040904444389223494/SYS201404090445229703652310_DA.files/image054.png">
,
由此可知點(diǎn)在曲線
上,即滿足
的點(diǎn)
在曲線
上.
所以曲線上存在一點(diǎn)
,使得曲線
上總有兩點(diǎn)
,且
成立
.
14分
考點(diǎn):應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值,平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
(x+a)(x+b) |
x |
A、4ab | ||||
B、(
| ||||
C、(a-b)2 | ||||
D、2(a2+b2) |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
a | x+1 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
MP |
PN |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
x2+(a+1)x+a |
x |
a |
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