Question

已知函數(shù)f（x）=x³+3ax²+3x+1．
（ I）求a=-

2

時，討論f（x）的單調(diào)性；
（ II）若x∈[2，+∞）時，f（x）≥0，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）把a=-

2

代入可得函數(shù)f（x）的解析式，求導(dǎo)數(shù)令其為0可得x=

2

+1或x=

2

-1，判斷函數(shù)在區(qū)間（-∞，

2

-1），（

2

-1，

2

+1），（

2

+1，+∞）的正負可得單調(diào)性；
（II）由f（2）≥0，可得a≥-

5

4

，當(dāng)x∈（2，+∞）時，由不等式的證明方法可得f′（x）＞0，可得單調(diào)性，進而可得當(dāng)x∈[2，+∞）時，有f（x）≥f（2）≥0成立，進而可得a的范圍．

解答：解：（I）當(dāng)a=-

2

時，f（x）=x³-3

2

x²+3x+1，
f′（x）=3x²-6

2

x+3，令f′（x）=0，可得x=

2

+1或x=

2

-1，
當(dāng)x∈（-∞，

2

-1）時，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增，
當(dāng)x∈（

2

-1，

2

+1）時，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減，
當(dāng)x∈（

2

+1，+∞）時，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增；
（II）由f（2）≥0，可解得a≥-

5

4

，
當(dāng)a≥-

5

4

，x∈（2，+∞）時，
f′（x）=3（x²+2ax+1）≥3（x²-

5

2

x+1）=3（x-

1

2

）（x-2）＞0，
所以函數(shù)f（x）在（2，+∞）單調(diào)遞增，于是當(dāng)x∈[2，+∞）時，f（x）≥f（2）≥0，
綜上可得，a的取值范圍是[-

5

4

，+∞）

點評：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，涉及函數(shù)的最值問題，屬中檔題．