已知點D在定線段MN上,且|MD|=3,|DN|=1,一個動圓C過點D且與MN相切,分別過M、N作圓C的另兩條切線交于點P.

(Ⅰ)建立適當?shù)闹苯亲鴺讼�,求點P的軌跡方程;

(Ⅱ)過點M作直線l與所求軌跡交于兩個不同的點A、B,若(λ)·(λ)=0,且λ∈[2-,2+],求直線l與直線MN夾角的取值范圍.

答案:
解析:

  解:(Ⅰ)以直線MNx軸,MN的中點為坐標原點O,

  建立直角坐標系xOy.1分

  ∵PMPN=(PEEM)-(PFFN)=MDND=2

  或PMPN=(PEEM)-(PFFN)=MDND=-2

  ∴點P的軌跡是以M、N為焦點,實軸長為2的雙曲線(不包含頂點),

  其軌跡方程為(y≠0)5分

  (Ⅱ)∵(λ)·(λ)=0,λ∈[2-,2+],

  ∴=±λ,6分

  設A(x1,y1),B(x2y2),則=(x1+2,y1),=(x2+2,y2)

  設ABmyx+2,代入得,3(my-2)2y2-3=0,

  即(3m2-1)y2-12my+9=0.

  ∴  7分

 �、佼�λ時,y1λy2,∴  8分

  得,,  9分

  ∴∈[4,6],即4≤≤6.

  ∴解得,m2≥3,故tan2  10分

 �、诋�=-λy1=-λy2,∴  11分

  得,,即

  ∵λ∈[2,2+],∈[2,4]

  ∴∈[-2,0],即-2≤≤0.

  ∴,故tan2≥11.  13分

  由①、②得tan2或tan2≥11.

  則夾角∈(0,)∪[arctan],14分

  ∵tan不存在時,直線l符合條件,故時,符合題意.

  ∴∈(0,)∪[arctan,].  15分


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(Ⅰ)建立適當?shù)闹苯亲鴺讼�,求點P的軌跡方程;
(Ⅱ)過點M作直線l與所求軌跡交于兩個不同的點A、B,若(
MA
MB
)•(
MA
MB
)=0,且λ∈[2-
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3
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(Ⅱ)過點M作直線l與所求軌跡交于兩個不同的點A、B,若(數(shù)學公式數(shù)學公式)•(數(shù)學公式數(shù)學公式)=0,且λ∈[2-數(shù)學公式,2+數(shù)學公式],求直線l與直線MN夾角θ的取值范圍.

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