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11.在公差為d的等差數(shù)列{an}中,已知a1=10且5a3•a1=(2a2+2)2
(1)求d,an
(2)若d<0,求|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|.

分析 (1)由題意可得d的方程,解方程可得通項公式;
(2)易得數(shù)列的前10項為正數(shù),第11項為0,從第12項開始為負數(shù),當n≤11時,|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|=a1+a2+a3+…+an;當n≥12時,|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|=a1+a2+a3+…a11-a12-an=-(a1+a2+a3+…+an)+2(a1+a2+a3+…a11),分別由等差數(shù)列的求和公式可得.

解答 解:(1)∵在公差為d的等差數(shù)列{an}中a1=10且5a3•a1=(2a2+2)2,
∴5(10+2d)•10=4(11+d)2,整理可得d2-3d-4=0,解得d=4或d=-1,
當d=4時,an=10+4(n-1)=4n+6;
當d=-1時,an=10-(n-1)=-n+11;
(2)由(1)可得d<0時,an=-n+11,
∴數(shù)列的前10項為正數(shù),第11項為0,從第12項開始為負數(shù),
∴當n≤11時,|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|=a1+a2+a3+…+an=10n+11n2=-12n2+212n;
當n≥12時,|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|=a1+a2+a3+…a11-a12-an
=-(a1+a2+a3+…+an)+2(a1+a2+a3+…a11
=12n2-212n+2(-12×112+212×11)
=12n2-212n+110

點評 本題考查等差數(shù)列的求和公式和通項公式,涉及分類討論的思想,屬中檔題.

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