Question

以下是關(guān)于圓錐曲線的四個(gè)命題：
①設(shè)A、B為兩個(gè)定點(diǎn)，k為非零常數(shù)，若PA-PB=k，則動點(diǎn)P的軌跡是雙曲線；
②方程2x²-5x+2=0的兩根可分別作為橢圓和雙曲線的離心率；
③雙曲線

x2

25

-

y2

9

=1與橢圓

x2

35

+y2=1有相同的焦點(diǎn)；
④以過拋物線的焦點(diǎn)的一條弦AB為直徑作圓，則該圓與拋物線的準(zhǔn)線相切．
其中真命題為______（寫出所以真命題的序號）．

Answer 1

①不正確．若動點(diǎn)P的軌跡為雙曲線，則|k|要小于A、B為兩個(gè)定點(diǎn)間的距離．當(dāng)|k|大于A、B為兩個(gè)定點(diǎn)間的距離時(shí)動點(diǎn)P的軌跡不是雙曲線．
②正確．方程2x²-5x+2=0的兩根分別為

1

2

和2，

1

2

和2可分別作為橢圓和雙曲線的離心率．
③正確，雙曲線

x2

25

-

y2

9

=1與橢圓

x2

35

+y2=1有相同的焦點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，焦點(diǎn)坐標(biāo)為（±

34

，0）；
④正確；不妨設(shè)拋物線為標(biāo)準(zhǔn)拋物線：y²=2px （p＞0 ），即拋物線位于Y軸的右側(cè)，以X軸為對稱軸．
設(shè)過焦點(diǎn)的弦為PQ，PQ的中點(diǎn)是M，M到準(zhǔn)線的距離是d．
而P到準(zhǔn)線的距離d₁=|PF|，Q到準(zhǔn)線的距離d₂=|QF|．
又M到準(zhǔn)線的距離d是梯形的中位線，故有d=

|PF|+|QF|

2

，
由拋物線的定義可得：

|PF|+|QF|

2

=

|PQ|

2

=半徑．
所以圓心M到準(zhǔn)線的距離等于半徑，
所以圓與準(zhǔn)線是相切．
故答案為：②③④