已知
a
，
b
是兩個非零向量，當
a
+t
b
（t∈R）的模取最小值時，
①求t的值．
②已知
a
與
b
共線且同向，求證：
b
與
a
+t
b
垂直．
分析：①令m=|
a
+t
b
|，
a
，
b
夾角為θ，對m2進行變形，然后利用二次函數(shù)的性質可得其取最小值時t的值；
②當
a
與
b
共線且同向時，cosθ=1，只需證明
b
•（
a
+t
b
）=0即可；
解答：解：①令m=|
a
+t
b
|，
a
，
b
夾角為θ，
則m2=|
a
+t
b
|2=
a
2+t2
b
2+2|
a
||
b
|cosθ•t
=
b
2t2+2|
a
||
b
|cosθ•t+
a
2
=
b
2(t2+2|
a
|
1
|
b
|
cosθ•t+
a
2
b
2
cos2θ)+
a
2-
a
2cos2θ=
b
2(t+
|
a
|
|
b
|
cosθ)2+
a
2(1-cos2θ)，
所以當t=-
|
a
|
|
b
|
cosθ時，mmin=|
a
|sinθ；
②證明：因為
a
與
b
共線且同向，所以cosθ=1，
所以t=-
|
a
|
|
b
|
，
所以
b
•(
a
+t
b
)=
a
•
b
+(-
|
a
|
|
b
|
)
b
2=|
a
||
b
|-|
a
||
b
|=0，
所以
b
⊥(
a
+t
b
)．
點評：本題考查利用平面向量的數(shù)量積證明向量垂直，屬基礎題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知
a
，
b
是兩個非零向量，給定命題p：|
a
+
b
|=|
a
|+|
b
|；命題q：?t∈R，使得
a
=t
b
；則p是q的（　�。�
A、充分條件
B、必要條件
C、充要條件
D、既不充分也不必要條件

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知
a
，
b
是兩個非零向量，且
OA
=
a
+
b
，
OB
=
a
+2
b
，
OC
=
a
+3
b
，則
AB
與
AC
的夾角為
0°
0°
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知
a 
、  
b
是兩個非零向量，且|
a
|=|
b
|=|
a
-
b
|，則
a
與
a
+
b
的夾角為（　�。�
A、30°B、60°
C、90°D、150°

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2010•河西區(qū)一模）已知
a
，
b
是兩個非零向量，給定命題p：|
a
+
b
|=|
a
|+|
b
|，命題q：?t∈R，使得
a
=t
b
；則p是q的（　�。�

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