已知數列的各項均為正數,其前項和為,且.
⑴求證:數列是等差數列;
⑵設,求證:;
⑶設,,求.
(1)詳見解析;(2)詳見解析;(3)
【解析】
試題分析:(1)一般數列問題中出現數列前的和與其項時,則可利用關系找出數列的遞推關系,本題可從此入手,證明數列為等差數列;(2)由(1)可求出,根據此式的結構特征,可得,利用裂項相消法求其前的和后再予以判斷;(3)根據數列的結構特點(等差乘等比型)可用錯位相減法求和.證明數列為等差數列或等比數列,應緊扣定義,通過對所給條件變形,得到遞推關系,而等差乘等比型數列的求和最常用的就是錯位相減法,使用這個方法在計算上要有耐心和細心,注意各項的符號,防止出錯.
試題解析:⑴證明:,當時,或,又. 1分
由,得,
數列是以1為首項,1為公差的等差數列; 4分
⑵證明:由⑴知,,
. 8分
⑶,, ①
②
由①-②得,
. 12分
考點:等差數列、等比數列、錯位相減法.
科目:高中數學 來源:2014屆云南省高二9月月考理科數學試卷(解析版) 題型:解答題
(本題滿分12分)已知數列的各項均為正實數,且其前項和滿足。(1)證明:數列是等差數列;
(2)設,求數列的前項和。
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科目:高中數學 來源:2010-2011學年北京市西城區(qū)高三一模試卷數學(理科) 題型:填空題
已知數列的各項均為正整數,對于,有
當時,______;
若存在,當且為奇數時,恒為常數,則的值為______.
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科目:高中數學 來源:2011屆北京市西城區(qū)高三一模試卷數學(理科) 題型:填空題
已知數列的各項均為正整數,對于,有
當時,______;
若存在,當且為奇數時,恒為常數,則的值為______.
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