Question

已知a，b，c，d均為實數(shù)，函數(shù)f（x）=

a

3

x3+

b

2

x2+cx+d（a＜0）有兩個極值點x₁，x₂且x₁＜x₂，滿足f（x₂）=x₁，則方程af²（x）+bf（x）+c=0的實根的個數(shù)是

 

．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的極值,根的存在性及根的個數(shù)判斷

專題：計算題,數(shù)形結合,導數(shù)的綜合應用

分析：求導數(shù)f′（x），由題意知x₁，x₂是方程ax²+bx+c=0的兩根，從而關于f（x）的方程a（f（x））²+bf（x）+c=0有兩個根，作出草圖，由圖象可得答案．

解答： 解：∵f（x）=

a

3

x3+

b

2

x2+cx+d（a＜0）
∴f′（x）=ax²+bx+c，
由題意知x₁，x₂是方程ax²+bx+c=0的兩根，即x₁，x₂是函數(shù)的兩個極值點，
不妨設x₂＞x₁，從而關于f（x）的方程a[f（x）]²+b[f（x）]+c=0有兩個根，
所以f（x）=x₁，或f（x）=x₂根據(jù)題意畫圖，
所以f（x）=x₁有兩個不等實根，f（x）=x₂只有一個不等實根，
綜上方程a[f（x）]²+bf（x）+c=0的不同實根個數(shù)為3個．
故答案為：3．

點評：考查函數(shù)零點的概念、以及對嵌套型函數(shù)的理解，考查數(shù)形結合思想．