設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，直線與軸交于點(diǎn)，過點(diǎn)且傾斜角為30°的直線交橢圓于兩點(diǎn)．

（Ⅰ）求直線和橢圓的方程；

（Ⅱ）求證：點(diǎn)在以線段為直徑的圓上；

（Ⅲ）在直線上有兩個(gè)不重合的動(dòng)點(diǎn)，以為直徑且過點(diǎn)的所有圓中，求面積最小的圓的半徑長(zhǎng)．

 

【答案】

（1）

（2）（2）把直線與橢圓方程聯(lián)立，消去y，設(shè)出A，B的坐標(biāo)，則可求得x1+x2=-3x1x2，進(jìn)而分別表示出F1A和AF1B斜率，進(jìn)而求得kF1A?kF1B的值

（3）

【解析】

試題分析：解: (Ⅰ)可知直線              2分

由,,解得,

所以，橢圓的方程為．             4分

(Ⅱ)聯(lián)立方程組  整理得:,

設(shè),則,

因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013071611565788468107/SYS201307161157351479179249_DA.files/image012.png">,所以

所以點(diǎn)在以線段為直徑的圓上．            10分

(3)面積最小的圓的半徑長(zhǎng)應(yīng)是點(diǎn) 到直線的距離．  11分

設(shè)為 即面積最小的圓的半徑長(zhǎng)為   13分

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題．考查了學(xué)生綜合分析問題和解決問題的能力．

 

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2011-2012學(xué)年浙江省高三5月模擬考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

已知橢圓的離心率為，直線:與以原點(diǎn)為圓心、以橢圓的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓相切.

（1）求橢圓的方程；

（2）設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，右焦點(diǎn)，直線過點(diǎn)且垂直于橢圓的長(zhǎng)軸，動(dòng)直線垂

直于點(diǎn)，線段垂直平分線交于點(diǎn)，求點(diǎn)的軌跡的方程；

（3）當(dāng)P不在軸上時(shí)，在曲線上是否存在兩個(gè)不同點(diǎn)C、D關(guān)于對(duì)稱，若存在，

求出的斜率范圍，若不存在，說明理由。

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：河北省高三下學(xué)期第二次考試數(shù)學(xué)（文） 題型：解答題

（本題滿分12分）已知橢圓的離心率為，

直線與以原點(diǎn)為圓心、以橢圓的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓相切。

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為F1，右焦點(diǎn)為F2，直線過點(diǎn)F1，且垂直于橢圓的長(zhǎng)軸，動(dòng)直

線垂直于點(diǎn)P，線段PF2的垂直平分線交于點(diǎn)M，求點(diǎn)M的軌跡C2的方程；

（Ⅲ）若AC、BD為橢圓C1的兩條相互垂直的弦，垂足為右焦點(diǎn)F2，求四邊形ABCD的面積

的最小值．

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：河北省高三下學(xué)期第二次考試數(shù)學(xué)（文） 題型：解答題

（本題滿分12分）已知橢圓的離心率為，

直線與以原點(diǎn)為圓心、以橢圓的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓相切。

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為F1，右焦點(diǎn)為F2，直線過點(diǎn)F1，且垂直于橢圓的長(zhǎng)軸，動(dòng)直

線垂直于點(diǎn)P，線段PF2的垂直平分線交于點(diǎn)M，求點(diǎn)M的軌跡C2的方程；

（Ⅲ）若AC、BD為橢圓C1的兩條相互垂直的弦，垂足為右焦點(diǎn)F2，求四邊形ABCD的面積

的最小值．

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2012屆遼寧省營(yíng)口市高二上學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)理科數(shù)學(xué) 題型：解答題

設(shè)，分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，過的直

   線與橢圓 相交于,兩點(diǎn)，直線的傾斜角為， 到直線的距離為；

（1）求橢圓的焦距；

（2）如果,求橢圓的方程.

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

( 本小題滿分12分)

       設(shè)，分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，過的直

   線與橢圓 相交于,兩點(diǎn)，直線的傾斜角為，到直線的距離為；

（1）求橢圓的焦距；

（2）如果,求橢圓的方程.

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