Question

如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CC₁⊥底面ABC，AC=BC=2，AB=，CC₁=4，M是棱CC₁上一點．
（Ⅰ）求證：BC⊥AM；
（Ⅱ）若M，N分別是CC₁，AB的中點，求證：CN∥平面AB₁M；
（Ⅲ）若，求二面角A-MB₁-C的大�。�

Answer 1

解：（Ⅰ）∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CC₁⊥平面ABC，BC?平面ABC，
∴CC₁⊥BC． …（1分）
∵AC=BC=2，AB=2，
∴△ABC中，AC²+BC²=8=AB²，可得BC⊥AC． …（2分）
∵AC∩CC₁=C，∴BC⊥平面ACC₁A₁． …（3分）
∵AM?平面ACC₁A₁，
∴BC⊥AM． …（4分）
（Ⅱ）連接A₁B交AB₁于P． …（5分）
∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，四邊形AA₁B₁B是平行四邊形
∴P是A₁B的中點．
又∵M，N分別是CC₁，AB的中點，
∴NP∥CM，且NP=CM，
∴四邊形MCNP是平行四邊形，可得CN∥MP． …（7分）
∵CN?平面AB₁M，MP?平面AB₁M，…（8分）
∴CN∥平面AB₁M． …（9分）
（Ⅲ）∵BC⊥AC，且CC₁⊥平面ABC，
∴以C為原點，CA，CB，CC₁分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系C-xyz．
由C₁M=，得C（0，0，0），A（2，0，0），B₁（0，2，4），M（0，0，），
∴向量=（-2，0，），=（0，-2，-）． …（10分）
設(shè)平面AMB₁的法向量=（x，y，z），則•=0，•=0．
即 …（11分）
令x=5，則y=-3，z=4，即=（5，-3，4），
又平面MB₁C的一個法向量是=（2，0，0），
∴cos＜，＞==． …（12分）
由圖可知二面角A-MB₁-C為銳角，
∴二面角A-MB₁-C的大小為． …（14分）
分析：（1）△ABC中，根據(jù)勾股定理的逆定理得BC⊥AC，結(jié)合直三棱柱中CC₁⊥BC，可得BC⊥平面ACC₁A₁，從而得到BC⊥AM．
（2）連接A₁B交AB₁于P，根據(jù)平行四邊形AA₁B₁B的性質(zhì)，結(jié)合三角形中位線定理，可得NP與CM平行且相等，從而四邊形MCNP是平行四邊形，可得CN∥MP，再結(jié)合線面平行的判定定理，得到CN∥平面AB₁M．
（3）以C為原點，CA，CB，CC₁分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系如圖，根據(jù)題意得到C、A、、B₁、M各點的坐標，從而得到向量、的坐標，再利用垂直向量數(shù)量積為零的方法，列方程組可求出平面AMB₁的法向量=（5，-3，4），結(jié)合平面MB₁C的一個法向量=（2，0，0），利用空間兩個向量的夾角公式，得到與的夾角，即得二面角A-MB₁-C的大�。�
點評：本題以一個特殊的直三棱柱為例，叫我們證明線面垂直和線面平行，并求二面角的大小．著重考查了空間線面平行、垂直位置關(guān)系的判定與性質(zhì)，以及利用空間坐標系求平面與平面所成角的大小等知識，屬于中檔題．