如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,CC1⊥底面ABC,AC=BC=2,AB=數(shù)學(xué)公式,CC1=4,M是棱CC1上一點.
(Ⅰ)求證:BC⊥AM;
(Ⅱ)若M,N分別是CC1,AB的中點,求證:CN∥平面AB1M;
(Ⅲ)若數(shù)學(xué)公式,求二面角A-MB1-C的大。

解:(Ⅰ)∵三棱柱ABC-A1B1C1中,CC1⊥平面ABC,BC?平面ABC,
∴CC1⊥BC. …(1分)
∵AC=BC=2,AB=2,
∴△ABC中,AC2+BC2=8=AB2,可得BC⊥AC. …(2分)
∵AC∩CC1=C,∴BC⊥平面ACC1A1. …(3分)
∵AM?平面ACC1A1,
∴BC⊥AM. …(4分)
(Ⅱ)連接A1B交AB1于P. …(5分)
∵三棱柱ABC-A1B1C1中,四邊形AA1B1B是平行四邊形
∴P是A1B的中點.
又∵M,N分別是CC1,AB的中點,
∴NP∥CM,且NP=CM,
∴四邊形MCNP是平行四邊形,可得CN∥MP. …(7分)
∵CN?平面AB1M,MP?平面AB1M,…(8分)
∴CN∥平面AB1M. …(9分)
(Ⅲ)∵BC⊥AC,且CC1⊥平面ABC,
∴以C為原點,CA,CB,CC1分別為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標系C-xyz.
由C1M=,得C(0,0,0),A(2,0,0),B1(0,2,4),M(0,0,),
∴向量=(-2,0,),=(0,-2,-). …(10分)
設(shè)平面AMB1的法向量=(x,y,z),則=0,=0.
…(11分)
令x=5,則y=-3,z=4,即=(5,-3,4),
又平面MB1C的一個法向量是=(2,0,0),
∴cos<>==. …(12分)
由圖可知二面角A-MB1-C為銳角,
∴二面角A-MB1-C的大小為. …(14分)
分析:(1)△ABC中,根據(jù)勾股定理的逆定理得BC⊥AC,結(jié)合直三棱柱中CC1⊥BC,可得BC⊥平面ACC1A1,從而得到BC⊥AM.
(2)連接A1B交AB1于P,根據(jù)平行四邊形AA1B1B的性質(zhì),結(jié)合三角形中位線定理,可得NP與CM平行且相等,從而四邊形MCNP是平行四邊形,可得CN∥MP,再結(jié)合線面平行的判定定理,得到CN∥平面AB1M.
(3)以C為原點,CA,CB,CC1分別為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標系如圖,根據(jù)題意得到C、A、、B1、M各點的坐標,從而得到向量、的坐標,再利用垂直向量數(shù)量積為零的方法,列方程組可求出平面AMB1的法向量=(5,-3,4),結(jié)合平面MB1C的一個法向量=(2,0,0),利用空間兩個向量的夾角公式,得到的夾角,即得二面角A-MB1-C的大。
點評:本題以一個特殊的直三棱柱為例,叫我們證明線面垂直和線面平行,并求二面角的大小.著重考查了空間線面平行、垂直位置關(guān)系的判定與性質(zhì),以及利用空間坐標系求平面與平面所成角的大小等知識,屬于中檔題.
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A、3:2B、7:5C、8:5D、9:5

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如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥平面ABC,A1A=AC=2,BC=1,AB=
5
,則此三棱柱的側(cè)視圖的面積為( 。

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(2013•通州區(qū)一模)如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,CC1⊥底面ABC,AC=BC=2,AB=2
2
,CC1=4,M是棱CC1上一點.
(Ⅰ)求證:BC⊥AM;
(Ⅱ)若N是AB上一點,且
AN
AB
=
CM
CC1
,求證:CN∥平面AB1M;
(Ⅲ)若CM=
5
2
,求二面角A-MB1-C的大。

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精英家教網(wǎng)如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥面ABC,AC⊥BC,E分別在線段B1C1上,B1E=3EC1,AC=BC=CC1=4.
(1)求證:BC⊥AC1
(2)試探究:在AC上是否存在點F,滿足EF∥平面A1ABB1,若存在,請指出點F的位置,并給出證明;若不存在,說明理由.

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