Question

等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為3，點(diǎn)D、E分別是邊AB、AC上的點(diǎn)，且滿足

AD

DB

=

CE

EA

=

1

2

（如圖1）．將△ADE沿DE折起到△A₁DE的位置，使二面角A₁-DE-B為直二面角，連結(jié)A₁B、A₁C （如圖2）．
（Ⅰ）求證：A₁D⊥平面BCED；
（Ⅱ）若P是線段BC上的點(diǎn)，且三棱錐D-A₁EP的體積為

3

6

，求BP長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積,直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）由已知得AD=1，AE=2，又∠DAE=60°，二面角A₁-DE-B為直二面角，由此能證明A₁D⊥平面BDEC．
（Ⅱ）由設(shè)PB=x，由（1）知VD-A1EP=VA1-DEP=

1

3

•A1D•S△DEP=

3

6

，由此能求出BP．

解答： （Ⅰ）證明：等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為3，
且

AD

DB

=

CE

EA

=

1

2

，
∴AD=1，AE=2，又∠DAE=60°，
∴DE=

3

⇒DE⊥AB⇒DE⊥A1D，
又二面角A₁-DE-B為直二面角，
平面A₁DE∩平面BDE=DE，
∴A₁D⊥DE，A₁D⊥BD，∴A₁D⊥平面BDEC．
（Ⅱ）解：設(shè)PB=x，
由（1）知VD-A1EP=VA1-DEP=

1

3

•A1D•S△DEP=

3

6

，
∴S△DEP=

3

2

，
又在△ABC中，
S_△DEP=S_△ABC-S_△DBP-S_△ECP-S_△ADE

3

2

=

9 3

4

-

3

2

x-

3

4

(3-x)-

3

2

，解得：x=2，
∴BP=2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面垂直的證明，考查線段長(zhǎng)的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．