Question

已知拋物線y²=px（p＞0）上的一點(diǎn)P（x₀，1）到焦點(diǎn)的距離為

5

4

，x₀為整數(shù)．
（1）求該拋物線的方程；
（2）求該拋物線到直線x-2y+4=0的距離的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的關(guān)系,拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由已知得|PF|=

(x0- p 4 )2+1

=

5

4

，且px₀=1，從而

( 1 p - p 4 )2+1

=

5

4

，由此能求出該拋物線的方程．
（2）設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為（y²，y），將問題化為點(diǎn)到直線的距離L=

|y2-2y+4|

1+4

，由此能求出該拋物線到直線x-2y+4=0的距離的最小值．

解答： 解：（1）∵拋物線y²=px（p＞0）上的一點(diǎn)P（x₀，1）到焦點(diǎn)的距離為

5

4

，x₀為整數(shù)，
∴|PF|=

(x0- p 4 )2+1

=

5

4

，且px₀=1，即x0=

1

p

，
∴

( 1 p - p 4 )2+1

=

5

4

，
由p＞0，解得p=1，
∴該拋物線的方程為y²=x．
（2）∵由點(diǎn)在拋物線y²=x上，
∴設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為（y²，y），將問題化為點(diǎn)到直線的距離：
L=

|y2-2y+4|

1+4

=

|(y-1)2+3|

5

≥

3 5

5

．
∴該拋物線到直線x-2y+4=0的距離的最小值為

3 5

5

．

點(diǎn)評：本題考查拋物線的方程的求法，考查拋物線到直線的距離的最小值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意點(diǎn)到直線的距離公式的合理運(yùn)用．