Question

已知橢圓的兩焦點(diǎn)在軸上, 且兩焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)頂點(diǎn)的連線構(gòu)成斜邊長(zhǎng)為2的等腰直角三角形
（1）求橢圓的方程；
（2）過點(diǎn)的動(dòng)直線交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，試問：在坐標(biāo)平面上是否存在一個(gè)定點(diǎn)Q，使得以AB為直徑的圓恒過點(diǎn)Q?若存在求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由

Answer 1

（1）橢圓方程為；（2）存在定點(diǎn)，使以AB為直徑的圓恒過點(diǎn) 

試題分析：（1）由橢圓兩焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)的連線構(gòu)成等腰直角三角形,等腰直角三角形斜邊長(zhǎng)為2，即，故，由此可得橢圓方程 （2）首先考慮與坐標(biāo)軸平行的特殊情況，當(dāng)與x軸平行時(shí)，以AB為直徑的圓的方程為；當(dāng)與y軸平行時(shí),以AB為直徑的圓的方程為，解方程組求出這兩個(gè)圓的交點(diǎn)：
若存在定點(diǎn)Q,則Q的坐標(biāo)只可能為 
接下來就一般情況證明為所求 設(shè)直線，則，將與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理得：，代入上式證明其等于0即可
試題解析：（1）由橢圓兩焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)的連線構(gòu)成等腰直角三角形,
又斜邊長(zhǎng)為2,即故,
橢圓方程為                                  （4分）
（2）當(dāng)與x軸平行時(shí),以AB為直徑的圓的方程為;
當(dāng)與y軸平行時(shí),以AB為直徑的圓的方程為
,故若存在定點(diǎn)Q,則Q的坐標(biāo)只可能為    （6分）
下證明為所求:
若直線斜率不存在,上述已經(jīng)證明 設(shè)直線,
,
,                           （8分）

       （10分）

,即以AB為直徑的圓恒過點(diǎn)                  （13分）
注: 此題直接設(shè),得到關(guān)于的恒成立問題也可求解