Question

設(shè)τ=（x₁，x₂，…，x₁₀）是數(shù)1，2，3，4，5，6，7，8，9，10的任意一個(gè)全排列，定義，其中x₁₁=x₁．
（Ⅰ）若τ=（10，9，8，7，6，5，4，3，2，1），求S（τ）的值；
（Ⅱ）求S（τ）的最大值；
（Ⅲ）求使S（τ）達(dá)到最大值的所有排列τ的個(gè)數(shù)．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）依題意，τ=（x₁，x₂，…，x₁₀）=（10，9，8，7，6，5，4，3，2，1），代入S（τ）=|2x_k-3x_k+1|計(jì)算即可求得S（τ）的值；
（Ⅱ）可求得數(shù)10，9，8，7，6，5，4，3，2，1的2倍與3倍，從而可求得其中較大的十個(gè)數(shù)之和與較小的十個(gè)數(shù)之和的差，從而可得S（τ）的最大值；
（Ⅲ）利用數(shù)1，2，3，4所產(chǎn)生的8個(gè)數(shù)都是較小的數(shù)，而數(shù)7，8，9，10所產(chǎn)生的8個(gè)數(shù)都是較大的數(shù)，從而使S（τ）取最大值的排列中，必須保證數(shù)1，2，3，4互不相鄰，數(shù)7，8，9，10也互不相鄰；而數(shù)5和6既不能排在7，8，9，10之一的后面，又不能排在1，2，3，4之一的前面，利用排列組合知識(shí)即可求得答案．
解答：解：（Ⅰ）∵τ=（10，9，8，7，6，5，4，3，2，1），x₁₁=x₁，
依題意，S（τ）=|2x_k-3x_k+1|，
∴S（T）=|2x_k-3x_k+1|=7+6+5+4+3+2+1+0+1+28=57，．…（3分）
（Ⅱ）數(shù)10，9，8，7，6，5，4，3，2，1的2倍與3倍分別如下：20，18，16，14，12，10，8，6，4，2，30，27，24，21，18，15，12，9，6，3
其中較大的十個(gè)數(shù)之和與較小的十個(gè)數(shù)之和的差為203-72=131，所以S（τ）≤131．
對(duì)于排列τ=（1，5，6，7，2，8，3，9，4，10），此時(shí)S（τ）=131，
所以S（τ）的最大值為131．…（8分）
（Ⅲ）由于數(shù)1，2，3，4所產(chǎn)生的8個(gè)數(shù)都是較小的數(shù)，而數(shù)7，8，9，10所產(chǎn)生的8個(gè)數(shù)都是較大的數(shù)，所以使S（τ）取最大值的排列中，必須保證數(shù)1，2，3，4互不相鄰，數(shù)7，8，9，10也互不相鄰；而數(shù)5和6既不能排在7，8，9，10之一的后面，又不能排在1，2，3，4之一的前面．設(shè)x₁=1，并參照下面的符號(hào)排列1△○□△○□△○□△○
其中2，3，4任意填入3個(gè)□中，有6種不同的填法；7，8，9，10任意填入4個(gè)圓圈○中，共有24種不同的填法；5填入4個(gè)△之一中，有4種不同的填法；6填入4個(gè)△中，且當(dāng)與5在同一個(gè)△時(shí)，既可以在5之前又可在5之后，共有5種不同的填法，所以當(dāng)x₁=1時(shí)，使S（τ）達(dá)到最大值的所有排列τ的個(gè)數(shù)為6×24×4×5=2880，由輪換性知，使S（τ）達(dá)到最大值的所有排列τ的個(gè)數(shù)為28800．…（13分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查排列及排列數(shù)公式，考查抽象思維與綜合分析能力，考查運(yùn)算能力，屬于難題．