Question

【題目】如圖，長方體的底面為正方形，，，，，是棱的中點(diǎn)，平面與直線相交于點(diǎn)．

（1）證明：直線平面；

（2）求二面角的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）．

【解析】

（1）推導(dǎo)出，設(shè)點(diǎn)為的中點(diǎn)，連接，，推導(dǎo)出平面，平面，從而平面平面，由此能證明平面；

（2）以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求出二面角的正弦值．

（1）證明：平面平面，

平面平面，

平面平面，

，由題意得，

設(shè)點(diǎn)為的中點(diǎn)，連接，，

是棱的中點(diǎn)，，

平面，平面，

平面，

，，

，

平面，平面，

平面，

，

平面平面，

平面，

平面；

（2）解：以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

，，

∴，，，，

，，，

設(shè)平面的法向量，，，

則，取，得，

設(shè)平面的法向量，

則，取，得，

設(shè)二面角的平面角為，

由，

，

二面角的正弦值為．