Question

直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AB=2BC=2，D、E分別為AC、AB邊的中點．將△ADE沿DF折起，使△ADE沿DE折起，使△ADC為等邊三角形，如圖所示．
（Ⅰ）求證：面ADC⊥面ABC；
（Ⅱ）求四棱錐A-BCDE的體積．

Answer 1

考點：平面與平面垂直的判定,棱柱、棱錐、棱臺的體積

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）首先，證明DE⊥AC，然后結(jié)合DE∥BC，得到BC⊥平面ADC，從而命題得證；
（2）可以過點A作AM⊥CD，得到AM⊥平面CBED，然后，根據(jù)體積公式求解．

解答： 證明：（1）∵D、E是邊AC、AB的中點，即DE是VABC的中位線，
∴DE⊥AC，
∵DE⊥DC，
∴DE⊥平面ADC，
∵DE∥BC，
∴BC⊥平面ADC，
∴面ADC⊥面ABC；
（2）過點A作AM⊥CD，
∴AM⊥平面CBED，
∵M(jìn)是DC的中點，AM=

3

4

，
∴四棱錐A-BCDE的體積V=

1

3

×

3

4

×

1 2 +1

2

×

3

2

．
=

3 3

32

．

點評：本題綜合考查了空間中垂直關(guān)系及其判斷、體積公式的應(yīng)用等知識，屬于中檔題．