Question

已知函數(shù)f（x）=cos（2x+φ），其中φ為實(shí)數(shù)，且|φ|＜π，若f（x）≤|f（

π

3

）|，對x∈R恒成立，又f（

π

2

）＜f（

2

3

π）；
（1）求f（x）的解析式；
（2）用五點(diǎn)作圖法畫出函數(shù)f（x）一個(gè)周期內(nèi)的簡圖，并寫出f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（3）將函數(shù)y=f（x）的圖象向右平移

π

4

個(gè)單位得到函數(shù)g（x）圖象，求當(dāng)時(shí)x∈[-

π

12

，

5

12

π]時(shí)，g（x）的值域．

Answer 1

考點(diǎn)：余弦函數(shù)的圖象,函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）由題意可得 2×

π

3

+φ=kπ，k∈z，求得 φ 的值，可得f（x）的解析式．
（2）用五點(diǎn)法作函數(shù)y=Acos（ωx+φ）在一個(gè)周期上的簡圖．
（3）根據(jù)，函數(shù)y=Acos（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律以及余弦函數(shù)的定義域和值域，求得當(dāng)x∈[-

π

12

，

5

12

π]時(shí)，g（x）的值域．

解答： 解：（1）∵函數(shù)f（x）=cos（2x+φ），|φ|＜π，f（x）≤|f（

π

3

）|，對x∈R恒成立，
∴2×

π

3

+φ=kπ，k∈z，∴φ=

π

3

，∴f（x）=cos（2x+

π

3

）．
（2）列表：

2x+ π 3	0	π 2	π	3π 2	2π
x	- π 6	π 12	π 3	7π 12	5π 6
f（x）	1	0	-1	0	1

作圖：
顯然，函數(shù)f（x）的減區(qū)間為[-

π

6

，

π

3

]．
（3）將函數(shù)y=f（x）=cos（2x+

π

3

）的圖象向右平移

π

4

個(gè)單位得到函數(shù)g（x）=cos[2（x-

π

4

）+

π

3

]=cos（2x-

π

6

）的圖象，
當(dāng)時(shí)x∈[-

π

12

，

5

12

π]時(shí)，2x-

π

6

∈[-

π

3

，

2π

3

]，g（x）∈[-

1

2

，1]．

點(diǎn)評：本題主要考查余弦函數(shù)的最值，用五點(diǎn)法作函數(shù)y=Acos（ωx+φ）在一個(gè)周期上的簡圖，函數(shù)y=Acos（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，屬于中檔題．