Question

如圖，橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1的左、右焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，A為短軸的一個(gè)端點(diǎn)，右準(zhǔn)線l與x交于點(diǎn)B，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若F₂是OB中點(diǎn)．
（1）求橢圓的離心率；
（2）若直線AF₂交l于點(diǎn)C，△AF₁C的面積為2，求橢圓的方程．

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專(zhuān)題：計(jì)算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）由F₂是OB中點(diǎn)，又由OB=

a2

c

，OF₂=c，可求離心率；
（2）由（1）知，b=c，表示出S=2×

1

2

×2c×c=2，從而求橢圓的方程．

解答： 解：（1）∵F₂是OB中點(diǎn)．
∴

a2

c

=2c，
則e=

c

a

=

2

2

；
（2）∵

c

a

=

2

2

，
∴b=c，
又∵△AF₁C的面積是△AF₁F₂與△CF₁F₂的面積之和，
且A到x軸的距離等于C到x軸的距離，
∴S=2×

1

2

×2c×c=2，
則c=1，
則橢圓的方程為

x2

2

+y2=1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了橢圓的方程及橢圓的性質(zhì)利用，屬于中檔題．